Բովանդակություն

• Քայլեր
• Խորհուրդներ

Եթե ​​մաթեմատիկոս կամ գրաֆիկական ծրագրավորող եք, հավանաբար ստիպված կլինեք գտնել անկյունը տրված երկու վեկտորների միջև: Այս հոդվածում wikiHow- ը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է դա անել:

Քայլեր

2-րդ մասի 1-ը. Գտեք անկյունը երկու վեկտորի միջև

1. 

   Վեկտորի սահմանում: Գրեք ձեր ունեցած երկու վեկտորների մասին բոլոր տեղեկությունները: Ենթադրենք, որ դուք ունեք միայն դրանց ծավալային կոորդինատների նշված պարամետրերը (որոնք կոչվում են նաև բաղադրիչներ): Եթե ​​արդեն գիտեք վեկտորի երկարությունը (մեծությունը), կարող եք բաց թողնել ստորև ներկայացված որոշ քայլեր:
   • Օրինակ ՝ երկչափ վեկտոր = (2,2) և երկչափ վեկտոր = (0,3): Դրանք կարող են գրվել նաև որպես = 2ես + 2ժ և = 0ես + 3ժ = 3ժ.
   • Չնայած այս հոդվածի օրինակում օգտագործվում են երկչափ վեկտորներ, հետևյալ հրահանգները կարող են կիրառվել ցանկացած քանակի չափսերով վեկտորների վրա:

2. 

   
   
   Գրիր կոսինուսային բանաձեւը: Երկու անկյունների միջև θ անկյունը գտնելու համար մենք սկսում ենք այդ անկյան համար կոսինուս գտնելու բանաձևով: Ստորև կարող եք իմանալ այս բանաձևի մասին կամ պարզապես գրել այն այսպես.
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| նշանակում է «վեկտորի երկարություն»:
   • • երկու վեկտորների մասշտաբային արտադրանքն է. Սա կբացատրվի ստորև:

3. 

   
   
   Հաշվեք յուրաքանչյուր վեկտորի երկարությունը: Պատկերացրեք ուղղանկյունը կազմված է վեկտորի x, y բաղադրիչներից և բուն վեկտորից: Վեկտորը կազմում է եռանկյունու հիպոթենուսը, ուստի դրա երկարությունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք Պյութագորասի թեորեմը: Փաստորեն, այս բանաձևը հեշտությամբ կարելի է տարածել ցանկացած քանակի չափսերի վեկտորի վրա:
   • || դու || = դու₁ + դու₂, Եթե ​​վեկտորը ունի ավելի քան երկու տարր, ապա պարզապես անհրաժեշտ է շարունակել ավելացնել + u₃ + դու₄ +...
   • Այսպիսով, երկչափ վեկտորի համար, || դու || = √ (ու₁ + դու₂).
   • Այս օրինակում |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Հաշվեք երկու վեկտորի սկալային արդյունքը: Գուցե դուք սովորել եք վեկտորի բազմացման մեթոդը, որը հայտնի է նաև որպես scalar սա Scalar արտադրանքը դրանց բաղադրության համեմատ հաշվարկելու համար յուրաքանչյուր ուղղությամբ ուղղությամբ բաղադրիչները բազմապատկեք, ապա ավելացրեք ամբողջ արդյունքը:
   • Գրաֆիկական ծրագրի համար խնդրում ենք այցելել խորհուրդներ ՝ նախքան հետագա ընթերցելը:
   • Մաթեմատիկայի մեջ • = դու₁գ₁ + դու₂գ₂, որտեղ, u = (u₁, դու₂) Եթե ​​վեկտորը ունի ավելի քան երկու տարր, ապա պարզապես ավելացրեք + u₃գ₃ + դու₄գ₄...
   • Այս օրինակում • = u₁գ₁ + դու₂գ₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6, Սա վեկտորի և վեկտորի մասշտաբային արտադրանքն է:

5. 

   Արդյունքները դրեք բանաձևում: Հիշեք, որ cosθ = (•) / (|||| || ||): Այժմ մենք գիտենք և՛ մասշտաբային արտադրանքը, և՛ յուրաքանչյուր վեկտորի երկարությունը: Մուտքագրեք դրանք բանաձևում `անկյան կոսինուսը հաշվարկելու համար:
   • Մեր օրինակում, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = 2/2:

6. 

   Գտեք անկյունը ՝ ելնելով նրա կոսինուսից: Դուք կարող եք օգտագործել arccos կամ cos ֆունկցիան հաշվիչի մեջ `հայտնի կոս արժեքից գտնելու համար θ: Որոշ արդյունքներով կարող եք գտնել անկյունը ՝ հիմնվելով միավորի շրջանի վրա:
   • Օրինակում, cosθ = √2 / 2. Անկյունը գտնելու համար ձեր հաշվիչի մեջ մուտքագրեք «arccos (√2 ​​/ 2)»: Կամ, անկյունը կարող եք գտնել միավորի շրջանի վրա, cosθ = √2 / 2 դիրքում: Դա ճիշտ է դրա համար θ = /₄ կամ 45º.
   • Ամեն ինչ համադրելով ՝ վերջնական բանաձևն է. Անկյուն θ = արկոզին ((•) / (|||| || ||))
   գովազդ

2-րդ մաս 2-րդ. Անկյունային բանաձևի որոշում

1. 

   Հասկացեք բանաձեւի նպատակը: Այս բանաձևը չի բխել գոյություն ունեցող կանոններից: Փոխարենը, այն ձևավորվում է որպես մասշտաբային արտադրանքի և երկու վեկտորների անկյունի սահմանում: Նույնիսկ այդ դեպքում դա կամայական որոշում չէր: Վերադառնալով հիմնական երկրաչափությանը ՝ մենք կարող ենք հասկանալ, թե ինչու է այս բանաձևը տալիս ինտուիտիվ և օգտակար սահմանումներ:
   • Ստորև բերված օրինակներում օգտագործվում են երկչափ վեկտորներ, քանի որ դրանք ամենադյուրինն են հասկանալի և պարզ: Եռաչափ կամ ավելի վեկտորներն ունեն հատկություններ, որոնք սահմանված են գրեթե նման ընդհանուր բանաձևերով:

2. 

   Վերանայեք կոսինուսի թեորեմը: Դիտարկենք մի սովորական եռանկյունի, որի անկյունը a և b կողմերն են, հակառակ կողմը c: Կոսինուսի թեորեմում նշվում է, որ c = a + b -2abկոս(θ) Այս արդյունքը բավականին պարզ է ստացվում հիմնական երկրաչափությունից:

3. 

   Միացրեք երկու վեկտոր ՝ կազմելով եռանկյունի: Թղթի, վեկտորի և վեկտորի վրա նկարիր զույգ երկչափ վեկտորներ, որոնց θ-ն անկյուն է: Եռանկյուն ստեղծելու համար նկարեք երրորդ վեկտորը այս երկուսի միջեւ: Այլ կերպ ասած, նկարիր այնպիսի վեկտոր, որը + =: Վեկտոր = -.

4. 

   Գրեք այս եռանկյան կոսինուսի թեորեմը: Փոխարինեք մեր «վեկտորային եռանկյունու» կողային երկարությունը Կոսինուսի թեորեմի մեջ.
   • || (ա - բ) || = || ա || + || բ || - 2 || ա || || բ ||կոս(θ)

5. 

   Վերաշարադրել սկալային արտադրանքով: Հիշեք, որ մասշտաբային արտադրանքը մյուսի վրա մեկ վեկտորի պատկերն է: Վեկտորի սկալային արտադրանքն իր հետ չի պահանջում պրոյեկցիա, քանի որ այստեղ ուղղության մեջ տարբերություն չկա: Դա նշանակում է • = || ա || Օգտագործելով սա, մենք վերաշարադրում ենք հավասարումը.
   • (-) • (-) = • + • - 2 || ա || || բ ||կոս(θ)

6. 

   Հաջողությամբ վերաշարադրեց նույն բանաձևը: Ընդլայնել բանաձևի ձախ կողմը, ապա պարզեցնել ՝ անկյուններ գտնելու համար օգտագործվող բանաձևը ստանալու համար:
   • • - • - • + • = • + • - 2 || ա || || բ ||կոս(θ)
   • - • - • = -2 || ա || || բ ||կոս(θ)
   • -2 (•) = -2 || ա || || բ ||կոս(θ)
   • • = || ա || || բ ||կոս(θ)
   գովազդ

Խորհուրդներ

• Արժեքները փոխելու և խնդիրը արագ լուծելու համար օգտագործեք այս բանաձևը ցանկացած զույգ երկչափ վեկտորների համար. Cosθ = (u₁ • գ₁ + դու₂ • գ₂) / (√ (ու₁ • ու₂) • √ (գ₁ • գ₂)).
• Եթե ​​աշխատում եք համակարգչային գրաֆիկական ծրագրակազմի հետ, հավանականությունը մեծ է, որ դուք պետք է միայն մտածեք վեկտորների չափի մասին ՝ առանց անհանգստանալու դրանց երկարության մասին: Օգտագործեք հետևյալ քայլերը ՝ հավասարումը կրճատելու և ձեր ծրագիրն արագացնելու համար.
  • Յուրաքանչյուր վեկտորը նորմալացրեք այնպես, որ դրանք հավասար լինեն 1-ին: Դա անելու համար վեկտորի յուրաքանչյուր բաղադրիչ բաժանեք իր երկարությամբ:
  • Ձեռք բերեք սկալարի նորմալացված արտադրանքը նախնական վեկտորի փոխարեն:
  • Քանի որ երկարությունը 1 է, մենք կարող ենք բացառությունից դուրս բերել երկարության տարրերը: Վերջապես, ստացված անկյան հավասարումը arccos է (•):
• Կոսինուսի բանաձևի հիման վրա մենք կարող ենք արագորեն պարզել `անկյունը սուր է կամ բարակ: Սկսեք cosθ = (•) / (|||| ||||) բառից:
  • Հավասարության ձախ և աջ կողմերը պետք է ունենան նույն նշանը (դրական կամ բացասական):
  • Քանի որ երկարությունը միշտ դրական է, cosθ- ը պետք է ունենա նույն նշանը, ինչ scalar արտադրանքը:
  • Հետևաբար, եթե ապրանքը դրական է, ապա cosθ- ը նույնպես դրական է: Մենք գտնվում ենք միավորի շրջանի առաջին քառորդում ՝ θ <π / 2 կամ 90º -ով: Գտնելու անկյունը սուր անկյունն է:
  • Եթե ​​սկալային արտադրանքը բացասական է, cosθ- ը բացասական է: Մենք գտնվում ենք միավորի շրջանի երկրորդ քառորդում ՝ π / 2 <θ ≤ π կամ 90º <θ ≤ 180º: Դա է բանտի անկյունը: