Գտեք համարժեք կոտորակներ - Խորհուրդներ

Տեսանյութ: Համարժեք կոտորակներ | Թվաբանություն | «Քան» ակադեմիա

Բովանդակություն

Քայլեր
Խորհուրդներ
Arnգուշացում

Երկու կոտորակ անվանում են համարժեք, եթե ունեն նույն արժեքը: Կոտորակը դրա համարժեք ձևերի վերափոխման իմացությունը մաթեմատիկայի էական հմտություն է հիմնական հանրահաշվից մինչև խորացված մաթեմատիկա: Այս հոդվածը կներկայացնի համարժեք կոտորակների հաշվարկման մի քանի եղանակ ՝ հիմնական բազմապատկումից և բաժանումից մինչև համարժեք կոտորակների հավասարումներ լուծելու ավելի բարդ մեթոդներ:

Քայլեր

5-ի մեթոդ 1. Ստեղծել համարժեք կոտորակներ

Բազմացրեք համարիչը և հայտարարը նույն թվով: Ըստ սահմանման ՝ երկու տարբեր, բայց համարժեք կոտորակներ ունեն համարիչ, իսկ հայտարարը ՝ միմյանց բազմապատկածներ: Այլ կերպ ասած, կոտորակի համարիչը և հայտարարը նույն թվով բազմապատկելը տալիս է համարժեք կոտորակ: Չնայած նոր կոտորակների վրա թվերը տարբեր կլինեն, դրանք կունենան նույն արժեքները:
- Օրինակ, եթե վերցնենք 4/8 կոտորակը և բազմապատկենք թե համարիչը, թե հայտարարը 2-ով, ապա կստանանք (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16: Այս երկու կոտորակները համարժեք են:
- (4 × 2) / (8 × 2) ճիշտ նույնն է, ինչ 4/8 2/2: Հիշեք, որ երբ մենք երկու կոտորակ ենք բազմացնում, մենք բազմապատկում ենք հորիզոնական, այսինքն `համարիչը` համարիչով և հայտարարը `հայտարարով:
- Նկատի ունեցեք, որ բաժանումը կատարելիս 2/2 հավասար է 1-ի: Հետևաբար, հեշտ է հասկանալ, թե ինչու են 4/8 և 8/16 հավասար, քանի որ 4/8 × (2/2) դեռ = 4/8 է: Նմանապես 4/8 = 8/16:
- Անկացած կոտորակ ունի անվերջ համարժեք կոտորակների քանակ: Կարելի է համարիչը և հայտարարը բազմապատկել ցանկացած մեծ, թե փոքր ամբողջ թվով `համարժեք կոտորակ տալու համար:
Համարիչը և հայտարարը բաժանեք նույն թվին: Բազմապատկման նման, բաժանումը նույնպես օգտագործվում է նոր կոտորակ գտնելու համար, որը համարժեք է բուն կոտորակին: Պարզապես բաժանիր համարիչը և կոտորակի հայտարարը նույն թվի վրա `համարժեք կոտորակ ստանալու համար: Այնուամենայնիվ, ստացված կոտորակը պետք է ունենա ինչպես համարիչը, այնպես էլ նմուշը ՝ ամբողջ թվեր:
- Օրինակ ՝ հետ նայեք 4/8 կոտորակին: Բազմապատկելու փոխարեն և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանում ենք 2-ի, ունենք (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4: 2-ը և 4-ը երկուսն էլ ամբողջ թիվ են, ուստի այս համարժեք կոտորակը վավեր է:
գովազդ

5-ի մեթոդ 2. Հավասարաչափը որոշելու համար օգտագործելով հիմնական բազմապատկում

Գտեք այն թիվը, որով ավելի մեծ հայտարարը բազմապատկվում է փոքր հայտարարի վրա: Կոտորակների շատ խնդիրներ ենթադրում են որոշել, թե երկու կոտորակ հավասար են, թե ոչ: Հաշվելով այս թիվը ՝ կարող եք կոտորակները վերադարձնել նույն տերմին ՝ համարժեքությունը որոշելու համար:
- Օրինակ ՝ հետ վերցրու 4/8 և 8/16 կոտորակները: Փոքր հայտարարը 8 է, և մենք ստիպված կլինենք այդ թիվը բազմապատկել 2-ով `16-ի մեծ հայտարարը ստանալու համար: Այսպիսով, այս դեպքում որոնման համարը 2 է:
- Ավելի բարդ թվերի համար պարզապես մեծ հայտարարը բաժանեք փոքր հայտարարի: Վերոնշյալ օրինակում 16-ը բաժանված է 8-ի, արդյունքը 2 է:
- Այս թիվը միշտ չէ, որ ամբողջ թիվ է: Օրինակ, եթե հայտարարները 2 և 7 են, ապա 7-ը բաժանված 2-ի հավասար է 3,5-ի:
Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը արտահայտվում են ստորին տերմինով `վերը նշված քայլում նշված թվով: Ըստ սահմանման, գոյություն ունեն երկու տարբեր, բայց համարժեք կոտորակներ Թվիչն ու հայտարարը միմյանց բազմապատիկներ են, Այլ կերպ ասած, կոտորակի համարիչը և հայտարարը նույն թվով բազմապատկելը տալիս է համարժեք կոտորակ: Չնայած այս նոր կոտորակում թվերը տարբեր կլինեն, դրանց արժեքները նույնն են:
- Օրինակ, եթե առաջին քայլից վերցնենք 4/8 կոտորակը և բազմապատկենք թե համարիչը, թե նմուշը նախկինում նշված թվով 2-ով, ապա մենք ունենք (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16, Դա ապացուցում է, որ այս երկու կոտորակները համարժեք են:
գովազդ

5-ի մեթոդ 3. Համարժեքությունը որոշելու համար հիմնական բաժնի օգտագործումը

Յուրաքանչյուր կոտորակ բաժանիր տասնորդականի: Փոփոխականներ չունեցող պարզ կոտորակների համար համարժեքությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է միայն յուրաքանչյուր կոտորակը ներկայացնել որպես տասնորդ: Քանի որ յուրաքանչյուր խմբակցություն ըստ էության բաժանում է, դա համարժեքությունը որոշելու ամենապարզ միջոցն է:
- Օրինակ, վերցրու վերևում 4/8 կոտորակը: 4/8 կոտորակը հավասար է 4-ի `բաժանված 8-ի, 4/8 = 0.5-ի: Այդ կոտորակը կարող ես բաժանել այդպես ՝ 8/16 = 0,5: Անկախ կոտորակների ձևաչափից, դրանք համարժեք են, եթե տասնորդով արտահայտվելիս երկու թվերը հավասար են:
- Հիշեք, որ տասնորդական ներկայացումը կարող է առաջացնել շատ թվանշաններ ՝ նախքան եզրակացնել, որ դրանք համարժեք չեն: Հիմնական օրինակը 1/3 = 0,333 է, մինչդեռ 3/10 = 0,3: Պարզապես մեկ թվանշանից ավելին, մենք գտնում ենք, որ այս երկու կոտորակները համարժեք չեն:
Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանիր նույն թվով `համարժեք կոտորակ ստանալու համար: Ավելի բարդ կոտորակների համար բաժանման այս մեթոդը պահանջում է լրացուցիչ քայլեր: Բազմապատկման պես, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող ես բաժանել նույն թվի վրա ՝ համարժեք կոտորակ ստանալու համար: Այնուամենայնիվ, ստացված կոտորակը պետք է ունենա ինչպես համարիչը, այնպես էլ նմուշը ՝ ամբողջ թվեր:
- Կոտորակի օրինակ 4/8: Բազմապատկելու փոխարեն ՝ մենք ենք բաժանել Թե՛ համարիչը, թե՛ հայտարարը տալիս են 2, մենք ստանում ենք (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4, 2-ը և 4-ը երկուսն էլ ամբողջ թիվ են, ուստի այս համարժեք կոտորակը վավեր է:
Կրճատել կոտորակը մինչև իր նվազագույն տեսքը: Կոտորակների մեծ մասը սովորաբար արտահայտվում է նվազագույն ձևով, և դրանք կարող եք վերադարձնել իրենց նվազագույն ձևին ՝ բաժանելով համարիչի և նմուշի ամենամեծ ընդհանուր գործոնի: Այս քայլը գործում է համարժեք կոտորակներ ներկայացնելու նույն տրամաբանության մեջ ՝ դրանք դարձնելով նույն հայտարարի, բայց այս մեթոդը պահանջում է յուրաքանչյուր կոտորակի նվազեցում իր նվազագույն ձևի:
- Երբ կոտորակն իր նվազագույն տեսքով է, համարիչն ու հայտարարը հնարավորինս փոքր են: Դուք չեք կարող դրանք բաժանել ցանկացած ամբողջ թվով `ավելի փոքր թիվ ստանալու համար: Կոտորակն իր նվազագույն ձևի վերափոխելու համար համարիչը և հայտարարը բաժանում ենք ըստ ամենամեծ ընդհանուր գործոնը.
- Հաշվիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր գործոնը առավելագույն թիվն է, որի վրա բաժանվում են: Այսպիսով, 4/8 օրինակում, քանի որ 4 ամենամեծ թիվն է, որով բաժանվում են և 4-ը, և 8-ը, մենք կբաժանենք այս կոտորակի համարիչը և հայտարարը 4-ի վրա `պարզեցված ձև ստանալու համար: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2, 8/16 մեկ այլ օրինակում GCF- ն 8 է, արդյունքը նույնպես 1/2 է:
գովազդ

5-ի մեթոդը 4. Փոփոխականների խնդիրը լուծելու համար խաչաձեւ բազմապատկում օգտագործելը

Երկու կոտորակ հավասար դրիր: Մենք օգտագործում ենք խաչաձեւ բազմապատկում այն խնդիրների համար, երբ գիտենք, որ կոտորակները համարժեք են, բայց թվերից մեկը փոխարինվել է փոփոխականով (սովորաբար x), որը մենք պետք է լուծենք խնդիրը գտնելու համար: Այսպիսի դեպքերում խաչաձեւ բազմացումը արագ մեթոդ է:
Վերցրեք երկու համարժեք կոտորակ և հատեք դրանք ՝ օգտագործելով «X»: Այլ կերպ ասած, դուք մի կոտորակի համարիչը բազմապատկում եք մյուսի հայտարարի վրա և հակառակը, ապա այս երկու արդյունքը հավասարեցնում և լուծում եք խնդիրը:
- Վերցրեք երկու օրինակ ՝ 4/8 և 8/16: Այս երկու կոտորակները փոփոխական չեն պարունակում, բայց մենք կարող ենք ապացուցել, որ դրանք համարժեք են: Խաչի բազմապատկմամբ մենք ստանում ենք 4 x 16 = 8 x 8, կամ 64 = 64, ինչը ակնհայտորեն ճիշտ է: Եթե երկու թվերը նույնը չեն, կոտորակները համարժեք չեն:
Տեղադրեք փոփոխականները: Քանի որ խաչաձեւ բազմապատկումը համարժեք կոտորակներ որոշելու ամենադյուրին ճանապարհն է, երբ ստիպված ես լուծել փոփոխականներ գտնելու խնդիրը, ավելացրու փոփոխականներ:
- Օրինակ ՝ դիտարկենք հետևյալ հավասարումը 2 / x = 10/13: Բազմապատկելու համար մենք բազմապատկում ենք 2-ը 13-ի և 10-ի x- ի վրա, ապա այս երկու արդյունքները հավասարեցնում ենք.
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. Հանրահաշվական պարզ մեթոդներով մենք կարող ենք գտնել x = 26/10 = փոփոխական 2.6, ապա առաջին երկու համարժեք կոտորակները 2 / 2.6 = 10/13 են:
Բազմաթիվ փոփոխականներով կամ փոփոխական արտահայտություններով հավասարումների համար օգտագործիր խաչաձեւ բազմապատկում: Խաչաձեւ բազմապատկման ամենաթեժ բաներից մեկն այն է, որ անկախ նրանից, դուք ունեք երկու պարզ կոտորակ (վերևի նման) կամ ավելի բարդ կոտորակներ, լուծումը ճիշտ նույնն է: Օրինակ, եթե երկու կոտորակները պարունակում են փոփոխականներ, ապա պարզապես հանեք դրանք խնդրի լուծման գործընթացի վերջին փուլում: Նմանապես, եթե կոտորակների համարիչները և հայտարարները պարունակում են փոփոխական արտահայտություններ (օրինակ ՝ x + 1), պարզապես բազմապատկեք և լուծեք այնպես, ինչպես սովորաբար անում եք:
- Օրինակ ՝ դիտարկենք հետևյալ հավասարումը ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4): Ինչպես վերևում, մենք լուծում ենք խաչով բազմապատկելով երկու կոտորակ.
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, կողմերը հանեք 2x- ի համար
  - 2 = 2x + 12, փոփոխականն առանձնացնելու համար կողմերը հանում ենք 12-ի
  - -10 = 2x, և կողմերը բաժանիր 2-ի վրա x գտնելու համար
  - -5 = x
գովազդ

5-ի մեթոդ 5. Չորրորդ լուծման օգտագործումը փոփոխական հավասարումների լուծման համար

Խաչը բազմապատկիր երկու կոտորակ: Համարժեքության խնդիրների համար, որոնք պահանջում են քառակուսային լուծումների օգտագործում, մենք դեռ սկսում ենք խաչաձեւ բազմապատկում օգտագործելով: Այնուամենայնիվ, ցանկացած խաչբազմապատկում ներառում է փոփոխական պարունակող տերմինի բազմապատկումը մեկ այլ փոփոխական պարունակող տերմինի հետ `ունի արտահայտություն տալու հնարավորություն, որը հանրահաշվական մեթոդով հեշտությամբ լուծելի չէ: Նման դեպքերում դուք պետք է օգտագործեք այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են ֆակտորիզացումը և (կամ) քառակուսային բանաձևերը:
- Օրինակ ՝ դիտարկենք հետևյալ հավասարումը ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)): Քայլ 1, մենք անցնում ենք բազմապատկվում.
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x - 2 = 12:
Արտահայտեք հավասարումը որպես քառակուսային հավասարություն: Այժմ մենք պետք է հավասարումը ներկայացնենք քառակուսային տեսքով (ax + bx + c = 0), որտեղ հավասարումը դնում ենք զրոյի: Այս դեպքում երկու կողմերն էլ հանում ենք 12-ով ՝ 2x ստանալու: - 14 = 0:
- Որոշ արժեքներ կարող են զրո լինել: Չնայած 2x - 14 = 0 հավասարության ամենապարզ ձևն է, դրա քառակուսայինը իրականում 2x + 0x + (-14) = 0. Դա օգնում է արտացոլել Ուղղեք քառակուսային հավասարության ձևը, նույնիսկ եթե որոշ արժեքներ 0 են:
Լուծեք հավասարություն `հայտնի գործակիցները լուծույթի բանաձևում միացնելով: Քառակուսային բանաձեւը (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) կօգնի մեզ լուծել x- ն այս պահին գտնելու խնդիրը: Մի վախեցեք, քանի որ բանաձեւը երկար է թվում: Ուղղակի վերցրու քառակուսային հավասարումից ստացված արժեքները երկրորդ քայլում և լուծելուց առաջ դրանք փոխարինիր համապատասխան դիրքերում:
- x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a: Հավասարության մեջ 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 և c = -14:
- x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
- x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10.58 / 4)
- x = +/- 2.64
Ստուգեք ձեր պատասխանները ՝ x- ը միացնելով ձեր քառակուսային հավասարմանը: Գտնված x- ը երկրորդ քայլից փոխարինելով ձեր քառակուսային հավասարման մեջ, դուք հեշտությամբ կարող եք պարզել `արդյոք ձեր պատասխանը ճիշտ է կամ կեղծ: Այս օրինակում դուք կփոխարինեիք և՛ 2.64-ը, և՛ -2.64-ը ՝ բուն քառակուսային հավասարում: գովազդ

Խորհուրդներ

Կոտորակները հավասար արժեքի կոտորակների վերափոխելը իրականում դրանք բազմապատկելու ձև է 1. 1/2-ը 2/4-ին փոխարկելիս մենք իրականում հաշվիչը և հայտարարը բազմապատկում ենք 2-ով կամ բազմապատկում: 1/2 ՝ 2/2-ով, ինչը հավասար է 1-ի:
Desiredանկության դեպքում խառը թիվը վերափոխել անկանոն կոտորակի ՝ փոխակերպումն ավելի դյուրին դարձնելու համար: Ակնհայտ է, որ ձեր հանդիպած յուրաքանչյուր կոտորակը վերափոխելն այնքան հեշտ չէ, որքան վերը նշված մեր 4/8 օրինակը: Օրինակ ՝ խառը թվերը (օրինակ ՝ 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 և այլն) կարող են անցումը մի փոքր ավելի բարդ դարձնել: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է խառը թիվը համարժեք կոտորակի վերածել, ապա կարող եք դա անել երկու եղանակով. Խառը թիվը վերափոխել անկանոն կոտորակի, ապա սովորական դարձնել, կամ պահել խառը թիվը և պատասխանը համարել խառը թիվը:
- Անկանոն կոտորակ փոխարկելու համար բազմապատկած խառը թվի ամբողջ մասը կոտորակի հայտարարի վրա բազմապատկիր, ապա ավելացրու համարիչին: Օրինակ ՝ 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3: Ապա, ցանկության դեպքում, ըստ անհրաժեշտության, կարող եք վերածվել համարժեք կոտորակների: Օրինակ ՝ 5/3 × 2/2 = 10/6, որը դեռ հավասար է 1 2/3-ին:
- Այնուամենայնիվ, մեզ հարկավոր չէ վերածվել անկանոն կոտորակի, ինչպես վերը նշված է: Անտեսեք ամբողջ թվային մասը, փոխարկեք միայն կոտորակի մասը, ապա ամբողջ թվային մասը վերադարձեք դարձի դարձած կոտորակային մասին: Օրինակ, 3 4/16 համար մենք կանդրադառնանք միայն 4/16-ին: 4/16 & բաժանել; 4/4 = 1/4: Ամբողջ թվին մաս ավելացնելով ՝ մենք ունենք նոր խառը թիվը 3 1/4.

Arnգուշացում

Բազմապատկումն ու բաժանումը օգտագործվում են համարժեք կոտորակներ ստեղծելու համար, որովհետև ըստ սահմանման 1-ի (2/2, 3/3 և այլն) կոտորակային ձևի բազմապատկումն ու բաժանումը ազդեցություն չունի կոտորակային արժեքների վրա: բնօրինակ Ավելացումը և հանումը դա չեն անում:
Չնայած կոտորակներ բազմացնելիս բազմապատկում ես հայտարարը և հայտարարը, բայց կոտորակներ ավելացնելիս կամ հանելիս չես կարող գումարել կամ հանել հայտարարը:
- Որպես վերը նշված օրինակը, մենք տեսնում ենք, որ 4/8 ÷ 4/4 = 1/2: Եթե փոխարենը ես գումարած 4/4-ի համար պատասխանը բոլորովին այլ կլինի: 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 լավ 3/2, ոչ մի պատասխան հավասար չէ 4/8-ին: