Բովանդակություն

• Քայլեր
• Մաս 1 -ը 4 -ից. Ինչպես գրել հավասարություն
• 2 -րդ մաս 4 -ից. Ինչպես գրել Էվկլիդեսի ալգորիթմը
• 3 -րդ մաս 4 -ից. Ինչպես գտնել լուծում ՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը
• 4 -րդ մաս 4 -ից. Գտեք անսահման այլ լուծումներ

Դիոֆանտյան գծային հավասարումը լուծելու համար հարկավոր է գտնել «x» և «y» փոփոխականների արժեքները, որոնք ամբողջ թիվ են: Ամբողջական լուծումը սովորականից ավելի բարդ է և պահանջում է գործողությունների որոշակի փաթեթ: Նախ, պետք է հաշվարկել գործակիցների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD), այնուհետև գտնել լուծումը: Երբ գտաք գծային հավասարման մեկ ամբողջական լուծում, կարող եք օգտագործել պարզ օրինակ `անսահման թվով այլ լուծումներ գտնելու համար:

Քայլեր

Մաս 1 -ը 4 -ից. Ինչպես գրել հավասարություն

1. 1 Գրեք հավասարումը ստանդարտ ձևով: Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որում փոփոխականների ցուցիչները չեն գերազանցում 1 -ը: Նման գծային հավասարումը լուծելու համար նախ այն գրեք ստանդարտ տեսքով: Գծային հավասարման ստանդարտ ձևը հետևյալն է. ${ displaystyle Ax + By = C}$, որտեղ ${ ցուցադրման ոճ A, B}$ եւ ${ displaystyle C}$ - ամբողջական թվեր:
   • Եթե ​​հավասարումը տրված է այլ ձևով, բերեք այն ստանդարտ ձևի ՝ օգտագործելով հիմնական հանրահաշվական գործողությունները: Օրինակ, հաշվի առնելով հավասարումը ${ ցուցադրման ոճ 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... Տվեք նման տերմիններ և գրեք հավասարումը հետևյալ կերպ. ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Պարզեցրեք հավասարումը (հնարավորության դեպքում): Երբ հավասարումը գրում եք ստանդարտ ձևով, նայեք գործակիցներին ${ ցուցադրման ոճ A, B}$ եւ ${ displaystyle C}$... Եթե ​​այս գործակիցներն ունեն GCD, ապա բոլոր երեք գործակիցները բաժանեք դրա վրա: Նման պարզեցված հավասարման լուծումը կլինի նաև սկզբնական հավասարման լուծումը:
   • Օրինակ, եթե երեք գործակիցներն էլ զույգ են, ապա դրանք բաժանեք առնվազն 2 -ի: Օրինակ.
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (բոլոր անդամները բաժանվում են 2 -ի)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (այժմ բոլոր անդամները բաժանվում են 3 -ի)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (այս հավասարումը այլևս չի կարող պարզեցվել)
3. 3 Ստուգեք, արդյոք հավասարումը հնարավոր է լուծել: Որոշ դեպքերում դուք կարող եք անմիջապես հայտարարել, որ հավասարումը լուծումներ չունի: Եթե ​​«C» գործակիցը չի բաժանվում «A» և «B» գործակիցների GCD- ի հետ, ապա հավասարումը լուծումներ չունի:
   • Օրինակ, եթե երկու գործակիցն էլ ${ ցուցադրման ոճ A}$ եւ ${ ցուցադրման ոճ B}$ են նույնիսկ, ապա գործակիցը ${ displaystyle C}$ պետք է լինի հավասար: Բայց եթե ${ displaystyle C}$ տարօրինակ, ապա լուծում չկա:
     • Հավասարումը ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ չկա ամբողջական լուծումներ:
     • Հավասարումը ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ չկան ամբողջական լուծումներ, քանի որ հավասարման ձախ կողմը բաժանվում է 5 -ի, իսկ աջ կողմը `ոչ:

2 -րդ մաս 4 -ից. Ինչպես գրել Էվկլիդեսի ալգորիթմը

1. 1 Իմացեք Էվկլիդեսի ալգորիթմը: Դա կրկնվող բաժանումների շարք է, որոնցում նախորդ մնացորդը օգտագործվում է որպես հաջորդ բաժանարար: Վերջին բաժանարարը, որը բաժանում է թվերն ամբողջությամբ, երկու թվերից ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է (GCD):
   • Օրինակ, եկեք գտնենք 272 և 36 թվերի GCD- ը ՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը.
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Մեծ թիվը (272) բաժանեք փոքրի վրա (36) և ուշադրություն դարձրեք մնացորդին (20);
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - բաժանել նախորդ բաժանարարը (36) նախորդ մնացորդի վրա (20): Նշեք նոր մնացորդը (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - բաժանել նախորդ բաժանարարը (20) նախորդ մնացորդի վրա (16): Նշեք նոր մնացորդը (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Բաժանեք նախորդ բաժանարարը (16) նախորդ մնացորդի վրա (4): Քանի որ մնացորդը 0 է, կարող ենք ասել, որ 4 -ը սկզբնական երկու թվերի 272 և 36 -ի GCD- ն է:
2. 2 Կիրառել Էվկլիդեսի ալգորիթմը «A» և «B» գործակիցների նկատմամբ: Երբ գծային հավասարումը գրում եք ստանդարտ ձևով, որոշեք «A» և «B» գործակիցները, այնուհետև նրանց վրա կիրառեք Էվկլիդեսի ալգորիթմը ՝ GCD- ը գտնելու համար: Օրինակ ՝ տրված գծային հավասարում ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Ահա Էվկլիդեսի ալգորիթմը A = 87 և B = 64 գործակիցների համար.
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Գտեք ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCD): Քանի որ վերջին բաժանարարը 1 էր, GCD 87 -ը և 64 -ը 1 -ն են: Այսպիսով, 87 -ը և 64 -ը միմյանց նկատմամբ հարաբերական պարզ թվեր են:
4. 4 Վերլուծեք արդյունքը: Երբ գտնում եք gcd գործակիցները ${ ցուցադրման ոճ A}$ եւ ${ ցուցադրման ոճ B}$, համեմատեք գործակցի հետ ${ displaystyle C}$ սկզբնական հավասարումը: Եթե ${ displaystyle C}$ բաժանվում է gcd- ի ${ ցուցադրման ոճ A}$ եւ ${ ցուցադրման ոճ B}$, հավասարումը ունի ամբողջական լուծում. հակառակ դեպքում հավասարումը լուծումներ չունի:
   • Օրինակ ՝ հավասարումը ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ կարող է լուծվել, քանի որ 3 -ը բաժանվում է 1 -ի (gcd = 1):
   • Օրինակ, ենթադրենք GCD = 5: 3 -ը հավասարապես չի բաժանվում 5 -ի, ուստի այս հավասարումը չունի ամբողջ թվով լուծումներ:
   • Ինչպես ցույց է տրված ստորև, եթե հավասարումը ունի մեկ ամբողջ լուծում, այն ունի նաև անսահմանափակ թվով այլ ամբողջական լուծումներ:

3 -րդ մաս 4 -ից. Ինչպես գտնել լուծում ՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը

1. 1 Համեմատեք GCD- ի հաշվարկման քայլերը: Գծային հավասարման լուծումը գտնելու համար հարկավոր է օգտագործել Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ՝ որպես փոխարինման և պարզեցման գործընթացի հիմք:
   • Սկսեք համարակալելով GCD- ի հաշվարկման քայլերը: Հաշվարկման գործընթացը հետևյալն է.
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 1}} ՝ 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 2}} ՝ 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 3}} ՝ 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 4}} ՝ 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 5}} ՝ 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 6}} ՝ 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { տեքստ {Քայլ 7}} ՝ 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Ուշադրություն դարձրեք վերջին քայլին, որտեղ մնացորդ կա: Այս քայլի հավասարումը վերաշարադրեք ՝ մնացածը մեկուսացնելու համար:
   • Մեր օրինակում, մնացորդով վերջին քայլը 6 -րդ քայլն է: Մնացածը `1. 6 -րդ քայլում հավասարումը շարադրել հետևյալ կերպ.
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Մեկուսացրեք նախորդ քայլի մնացորդը: Այս գործընթացը քայլ առ քայլ «շարժվել դեպի վեր» է: Ամեն անգամ, երբ մնացորդը մեկուսացնելու եք հավասարման մեջ նախորդ քայլին:
   • 5 -րդ քայլում մեկուսացրեք հավասարման մնացորդը.
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ կամ ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Փոխարինեք և պարզեցրեք: Ուշադրություն դարձրեք, որ 6 -րդ քայլի հավասարումը պարունակում է 2 թիվը, իսկ 5 -րդ քայլի հավասարման մեջ 2 թիվը մեկուսացված է: Այսպիսով, 6 -րդ քայլի հավասարման մեջ «2» -ի փոխարեն փոխարինեք 5 -րդ քայլի արտահայտությունը.
   • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 3-2}$ (6 -րդ քայլի հավասարում)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (2 -ի փոխարեն արտահայտությունը փոխարինվեց)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (բացված փակագծեր)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (պարզեցված)
5. 5 Կրկնեք փոխարինման և պարզեցման գործընթացը: Կրկնեք նկարագրված գործընթացը ՝ շարժվելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմի միջոցով հակառակ կարգով: Ամեն անգամ, երբ դուք կգրեք նախորդ քայլի հավասարումը և այն կցեք ձեր ստացած վերջին հավասարմանը:
   • Վերջին քայլը, որին մենք նայեցինք, քայլ 5. էր: Այսպիսով, գնացեք 4 -րդ քայլ և մեկուսացրեք մնացածը այդ քայլի հավասարման մեջ.
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Այս հավասարումը փոխարինեք «3» -ով վերջին հավասարման մեջ.
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Շարունակեք փոխարինման և պարզեցման գործընթացով: Այս գործընթացը կկրկնվի այնքան ժամանակ, մինչև չհասնեք Էվկլիդեսյան ալգորիթմի սկզբնական աստիճանին: Գործընթացի նպատակն է գրել լուծման ենթակա սկզբնական հավասարման 87 և 64 գործակիցներով հավասարումը: Մեր օրինակում.
   • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (փոխարինել արտահայտությունը 3 -րդ քայլից)
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (փոխարինել արտահայտությունը 2 -րդ քայլից)
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (փոխարինել արտահայտությունը 1 -ին քայլից)
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ ցուցադրման ոճ 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Ստացված հավասարումը վերաշարադրեք սկզբնական գործակիցներին համապատասխան: Երբ վերադառնաք Էվկլիդեսյան ալգորիթմի առաջին քայլին, կտեսնեք, որ ստացված հավասարումը պարունակում է սկզբնական հավասարման երկու գործակից: Հավասարումն այնպես շարադրել, որ նրա պայմանների կարգը համապատասխանի սկզբնական հավասարման գործակիցներին:
   • Մեր օրինակում ՝ սկզբնական հավասարումը ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... Հետեւաբար, ստացված հավասարումը վերաշարադրեք այնպես, որ գործակիցները համապատասխանեցվեն:Հատուկ ուշադրություն դարձրեք «64» գործակցին: Սկզբնական հավասարման մեջ այս գործակիցը բացասական է, իսկ Էվկլիդեսյան ալգորիթմում ՝ դրական: Հետեւաբար, 34 գործոնը պետք է բացասական դարձնել: Վերջնական հավասարումը կգրվի այսպես.
     • ${ ցուցադրման ոճ 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Կիրառեք համապատասխան բազմապատկիչ `լուծում գտնելու համար: Նկատի ունեցեք, որ մեր օրինակում ՝ GCD = 1, ուստի վերջնական հավասարումը 1. Բայց սկզբնական հավասարումը (87x-64y) 3-ն է: Այսպիսով, լուծումը ստանալու համար վերջնական հավասարման բոլոր տերմինները պետք է բազմապատկվեն 3-ով.
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Գրեք հավասարման ամբողջ թվով լուծումը: Թվերը, որոնք բազմապատկվում են սկզբնական հավասարման գործակիցներով, այդ հավասարման լուծումներն են:
   • Մեր օրինակում լուծումը գրեք որպես զույգ կոորդինատներ. ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

4 -րդ մաս 4 -ից. Գտեք անսահման այլ լուծումներ

1. 1 Հասկացեք, որ կան անսահմանափակ թվով լուծումներ: Եթե ​​գծային հավասարումը ունի մեկ ամբողջ լուծում, ապա այն պետք է ունենա անվերջ շատ ամբողջական լուծումներ: Ահա արագ ապացույց (հանրահաշվական ձևով).
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ ցուցադրման ոճ A (x + B) + B (y-A) = C}$ (եթե «x» - ին ավելացնեք «B» և «y» - ից հանեք «A» - ն, ապա սկզբնական հավասարման արժեքը չի փոխվի)
2. 2 Գրանցեք x և y սկզբնական արժեքները: Հաջորդ (անվերջ) լուծումների հաշվարկման ձևանմուշը սկսվում է արդեն գտած միակ լուծումից:
   • Մեր օրինակում լուծումը զույգ կոորդինատներն են ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 Ավելացրեք «B» գործակիցը «x» արժեքին: Դա արեք ՝ նոր x արժեքը գտնելու համար:
   • Մեր օրինակում x = -75, և B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Այսպիսով, «x» նոր արժեքը ՝ x = -139:
4. 4 «A» գործակիցը հանեք «y» արժեքից: Որպեսզի սկզբնական հավասարման արժեքը չփոխվի, «x» - ին մեկ թիվ ավելացնելիս պետք է «y» - ից հանել մեկ այլ թիվ:
   • Մեր օրինակում y = -102, և A = 87:
     • ${ ցուցադրման ոճ y = -102-87 = -189}$
   • Այսպիսով, «y» -ի նոր արժեքը `y = -189:
   • Կոորդինատների նոր զույգը կգրվի այսպես. ${ displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Ստուգեք լուծումը: Հաստատելու համար, որ նոր կոորդինատային զույգը սկզբնական հավասարման լուծում է, միացրեք արժեքները հավասարման մեջ:
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • Քանի որ հավասարությունը պահպանվում է, որոշումը ճիշտ է:
6. 6 Գրեք արտահայտություններ ՝ բազմաթիվ լուծումներ գտնելու համար: «X» արժեքները հավասար կլինեն սկզբնական լուծմանը գումարած «B» գործոնի ցանկացած բազմապատիկը: Սա կարող է գրվել որպես հետևյալ արտահայտություն.
   • x (k) = x + k (B), որտեղ «x (k)» - ն «x» արժեքների ամբողջությունն է, իսկ «x» - ը ՝ գտած «x» - ի սկզբնական (առաջին) արժեքը:
     • Մեր օրինակում.
     • ${ ցուցադրման ոճ x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), որտեղ y (k) y արժեքների ամբողջությունն է, իսկ y- ն ՝ գտած սկզբնական (առաջին) y արժեքը:
     • Մեր օրինակում.
     • ${ ցուցադրման ոճ y (k) = - 102-87k}$