Բովանդակություն

• Քայլեր
• Մաս 1 -ից 3 -ից
• Մաս 2 -ից 3 -ից. Հավասարումների լուծման համար երկվորյակների ֆակտորինգ
• 3 -րդ մաս 3 -ից. Բարդ խնդիրների լուծում
• Խորհուրդներ
• Գուշացումներ

Երկուական (երկհամար) մաթեմատիկական արտահայտություն է ՝ երկու տերմինով, որոնց միջև կա գումարած կամ մինուս նշան, օրինակ ՝ ${ displaystyle ax + b}$... Առաջին անդամը ներառում է փոփոխականը, իսկ երկրորդը ներառում է կամ չի ներառում այն: Երկանդականի ֆակտորինգը ենթադրում է այնպիսի տերմինների որոնում, որոնք բազմապատկելիս առաջացնում են սկզբնական երկյականը `այն լուծելու կամ պարզեցնելու համար:

Քայլեր

Մաս 1 -ից 3 -ից

1. 1 Հասկացեք ֆակտորինգային գործընթացի հիմունքները: Երկուականություն ֆակտորիացնելիս փակագծից հանվում է այն գործոնը, որը բաժանում է սկզբնական երկվանի յուրաքանչյուր տերմինի: Օրինակ, 6 թիվը լիովին բաժանվում է 1, 2, 3, 6. Այսպիսով, 6 թվի բաժանարարներն են 1, 2, 3, 6 թվերը:
   • Բաժանարարներ 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32:
   • Numberանկացած թվի բաժանարարներն են 1 -ը և ինքը թիվը: Օրինակ ՝ 3 -ի բաժանարարներն են 1 -ը և 3 -ը:
   • Ամբողջական բաժանարարները կարող են լինել միայն ամբողջ թվեր: 32 թիվը կարելի է բաժանել 3.564 -ի կամ 21.4952 -ի, բայց դուք ստանում եք ոչ թե ամբողջ թիվ, այլ տասնորդական կոտորակ:
2. 2 Պատվիրեք երկվանի պայմանները `ֆակտորինգային գործընթացը հեշտացնելու համար: Երկանդամը երկու տերմինի գումարը կամ տարբերությունն է, որոնցից գոնե մեկը փոփոխական է պարունակում: Երբեմն փոփոխականները բարձրացվում են հզորության, օրինակ ՝ ${ displaystyle x ^ {2}}$ կամ ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Ավելի լավ է երկհամակարգի պայմանները պատվիրել աճող կարգի ցուցիչներով, այսինքն `ամենափոքր ցուցիչով տերմինը գրվում է առաջին, իսկ ամենամեծով` վերջինը: Օրինակ:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ ցուցադրման ոճ 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ ցուցադրման ոճ x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Ուշադրություն դարձրեք մինուս նշանին 2. դիմաց, եթե տերմինը հանվում է, դրա դիմաց գրեք մինուս նշան:
3. 3 Գտեք երկու տերմինների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD): GCD- ն ամենամեծ թիվն է, որով երկանդամի երկու անդամներն էլ բաժանվում են: Դա անելու համար գտեք երկու տերմինի յուրաքանչյուր տերմինի բաժանարարները, ապա ընտրեք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Օրինակ:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Բաժանարարներ 3: 1, 3
     • Բաժանարարներ 6: 1, 2, 3, 6:
     • GCD = 3:
4. 4 Երկու տերմինները երկակի թվով բաժանեք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) վրա: Դա արեք GCD- ի գործոնը որոշելու համար: Նկատի ունեցեք, որ երկանդամի յուրաքանչյուր անդամ նվազում է (քանի որ այն բաժանելի է), բայց եթե GCD- ն դուրս է մնում փակագծերից, ապա վերջնական արտահայտությունը հավասար կլինի սկզբնականին:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Գտեք GCD: 3
   • Յուրաքանչյուր երկակի տերմին բաժանեք gcd- ի վրա.${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Տեղափոխիչը փակագծերից դուրս հանեք: Ավելի վաղ դուք երկակի երկակի տերմինները բաժանել եք բաժանարար 3 -ի և ստացել ${ displaystyle t + 2}$... Բայց դուք չեք կարող ազատվել 3 -ից. Որպեսզի սկզբնական և վերջնական արտահայտությունների արժեքները հավասար լինեն, հարկավոր է 3 -ը դնել փակագծերում և գրել փակագծերում բաժանման արդյունքում ստացված արտահայտությունը: Օրինակ:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Գտեք GCD: 3
   • Յուրաքանչյուր երկակի տերմին բաժանեք gcd- ի վրա.${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Բազմացրե՛ք բաժանարարը ստացված արտահայտությամբ.${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Պատասխան: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Ստուգեք ձեր պատասխանը: Դա անելու համար փակագծերից առաջ տերմինը բազմապատկեք փակագծերում եղած յուրաքանչյուր տերմինով: Եթե ​​դուք ստանում եք օրիգինալ երկհամանիշը, լուծումը ճիշտ է: Հիմա լուծեք խնդիրը ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Պատվիրեք անդամներին.${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Գտեք GCD:${ ցուցադրման ոճ 6}$
   • Յուրաքանչյուր երկակի տերմին բաժանեք gcd- ի վրա.${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Բազմացրե՛ք բաժանարարը ստացված արտահայտությամբ.${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Ստուգեք պատասխանը.${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Մաս 2 -ից 3 -ից. Հավասարումների լուծման համար երկվորյակների ֆակտորինգ

1. 1 Գործակից դարձրու երկանդամը `այն պարզեցնելու և հավասարումը լուծելու համար: Առաջին հայացքից թվում է, թե անհնար է լուծել որոշ հավասարումներ (հատկապես բարդ երկանդամներով): Օրինակ ՝ լուծիր հավասարումը ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Այս հավասարման մեջ կան ուժեր, ուստի նախ գործոնավորեք արտահայտությունը:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Հիշեք, որ երկանդամն ունի երկու անդամ: Եթե ​​արտահայտությունը ներառում է ավելի շատ տերմիններ, սովորեք ինչպես լուծել բազմանդամները:
2. 2 Հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք կամ հանեք մի քանի մոնոմ, որպեսզի հավասարման մի կողմում մնա զրո: Ֆակտորիզացիայի դեպքում հավասարումների լուծումը հիմնված է անփոփոխ փաստի վրա, որ զրոյով բազմապատկված ցանկացած արտահայտություն հավասար է զրոյի: Հետեւաբար, եթե հավասարումը հավասարեցնենք զրոյի, ապա դրա ցանկացած գործոն պետք է հավասար լինի զրոյի: Հավասարման մի կողմը սահմանեք 0:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Սահմանել զրոյի.${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Գործոնավորեք ստացված աղբարկղը: Դա արեք այնպես, ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում: Գտեք ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCD), երկակի երկակի տերմինները բաժանեք դրա վրա, ապա գործոնը դուրս հանեք փակագծերից:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Սահմանել զրոյի.${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Գործոն:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Յուրաքանչյուր գործոն զրոյի սահմանեք: Ստացված արտահայտության մեջ 2y- ն բազմապատկվում է 4 - y- ով, և այս արտադրյալը հավասար է զրոյի: Քանի որ զրոյով բազմապատկված ցանկացած արտահայտություն (կամ տերմին) զրո է, ապա 2y կամ 4 - y է 0. Ստացված միաձույլը և երկհամարը զրոյի սահմանեք ՝ «y» գտնելու համար:
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Սահմանել զրոյի.${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Գործոն:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Երկու գործոններն էլ սահմանեք 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Լուծեք ստացված հավասարումները `վերջնական պատասխանը (կամ պատասխանները) գտնելու համար: Քանի որ յուրաքանչյուր գործոն հավասար է զրոյի, հավասարումը կարող է ունենալ բազմաթիվ լուծումներ: Մեր օրինակում.
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Ստուգեք ձեր պատասխանը: Դա անելու համար գտած արժեքները փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ: Եթե ​​հավասարությունը ճշմարիտ է, ապա որոշումը ճիշտ է: Փոխարինեք գտնված արժեքները «y» - ի փոխարեն: Մեր օրինակում y = 0 և y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Սա ճիշտ որոշում է
   • ${ ցուցադրման ոճ 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Եվ սա ճիշտ որոշում է

3 -րդ մաս 3 -ից. Բարդ խնդիրների լուծում

1. 1 Հիշեք, որ փոփոխական ունեցող տերմինը կարող է նաև գործոնավորվել, նույնիսկ եթե փոփոխականը բարձրացվի հզորության: Ֆակտորինգի ժամանակ անհրաժեշտ է գտնել մի միանիշ, որը երկակի երկուսի յուրաքանչյուր անդամին կիսում է ամբողջությամբ: Օրինակ ՝ միանշանակը ${ displaystyle x ^ {4}}$ կարող է գործոնավորվել ${ displaystyle x * x * x * x}$... Այսինքն, եթե երկանդամի երկրորդ տերմինը պարունակում է նաև «x» փոփոխական, ապա «x» - ը կարելի է դուրս հանել փակագծերից: Այսպիսով, փոփոխականներին վերաբերեք որպես ամբողջ թվերի: Օրինակ:
   • Երկանդականի երկու անդամներն էլ ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ պարունակում է «t», այնպես որ «t» - ն կարող է հանվել փակագծերից. ${ ցուցադրման ոճ t (2 + t)}$
   • Բացի այդ, հզորության բարձրացված փոփոխականը կարող է հանվել փակագծից: Օրինակ ՝ երկակի երկակի անդամները ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ պարունակել ${ displaystyle x ^ {2}}$, այնպես որ ${ displaystyle x ^ {2}}$ կարող է հանվել փակագծից. ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Ավելացրեք կամ հանեք նման տերմիններ ՝ երկհամարանիշ ստանալու համար: Օրինակ, հաշվի առնելով արտահայտությունը ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Առաջին հայացքից սա բազմանդամ է, բայց իրականում այս արտահայտությունը կարող է վերածվել երկակիականի: Ավելացրեք նմանատիպ տերմիններ ՝ 6 և 14 (չեն պարունակում փոփոխական), և 2x և 3x (պարունակում են նույն փոփոխական «x»): Այս դեպքում ֆակտորինգի գործընթացը կպարզեցվի.
   • Բնօրինակ արտահայտություն.${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Պատվիրեք անդամներին.${ ցուցադրման ոճ 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Ավելացնել նմանատիպ պայմաններ.${ ցուցադրման ոճ 5x + 20}$
   • Գտեք GCD:${ ցուցադրման ոճ 5 (x) +5 (4)}$
   • Գործոն:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Գործոնավորեք կատարյալ քառակուսիների տարբերությունը: Կատարյալ քառակուսին այն թիվն է, որի քառակուսի արմատը ամբողջ թիվ է, օրինակ ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ ցուցադրման ոճ (x * x)}$ եւ նույնիսկ ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Եթե ​​երկհամարը կատարյալ քառակուսիների տարբերությունն է, օրինակ, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, ապա այն գործոնավորվում է բանաձևով.
   • Քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը.${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Առաջադրանք.${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Քառակուսի արմատները հանեք.
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Գտած արժեքները փոխարինիր բանաձևով. ${ ցուցադրման ոճ 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Գործոնավորիր ամբողջական խորանարդիկների միջև եղած տարբերությունը: Եթե ​​երկհամարը ամբողջական խորանարդիկների տարբերությունն է, օրինակ ՝ ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, ապա այն գործոնավորվում է ՝ օգտագործելով հատուկ բանաձև: Այս դեպքում անհրաժեշտ է երկակի երկվանի յուրաքանչյուր անդամից հանել խորանարդի արմատը և բանաձևի մեջ փոխարինել գտնված արժեքները:
   • Խորանարդիկների միջև տարբերության բանաձևը.${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Առաջադրանք.${ ցուցադրման ոճ 8x ^ {3} -27}$
   • Քաղեք խորանարդ արմատները.
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Գտած արժեքները փոխարինիր բանաձևով. ${ ցուցադրման ոճ 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Գործոնավորեք ամբողջական խորանարդի գումարը: Ի տարբերություն կատարյալ քառակուսիների գումարի, ամբողջական խորանարդի գումարը, օրինակ ՝ ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, կարող են գործոնավորվել ՝ օգտագործելով հատուկ բանաձև: Այն նման է խորանարդի տարբերության բանաձևին, բայց նշանները հակառակ են: Բանաձևը բավականին պարզ է. Այն օգտագործելու համար խնդրում գտեք ամբողջական խորանարդի գումարը:
   • Խորանարդի գումարի բանաձևը.${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Առաջադրանք.${ ցուցադրման ոճ 8x ^ {3} -27}$
   • Քաղեք խորանարդ արմատները.
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Գտած արժեքները փոխարինիր բանաձևով. ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Խորհուրդներ

• Երբեմն երկակի անդամները չունեն ընդհանուր բաժանարար: Որոշ առաջադրանքներում անդամները ներկայացվում են պարզեցված ձևով:
• Եթե ​​դուք անմիջապես չեք գտնում GCD- ը, սկսեք փոքր թվերի բաժանումից: Օրինակ, եթե չեք տեսնում, որ 32 և 16 թվերի GCD- ն 16 է, երկու թվերը բաժանեք 2 -ի: Ստանում եք 16 և 8; այս թվերը կարելի է բաժանել 8 -ի: Այժմ դուք ստանում եք 2 և 1; այս թվերը չեն կարող կրճատվել: Այսպիսով, ակնհայտ է, որ կա ավելի մեծ թիվ (համեմատած 8 -ի և 2 -ի հետ), որը երկու տրված թվերի ընդհանուր բաժանարարն է:
• Նկատի ունեցեք, որ վեցերորդ կարգի տերմինները (6 – ի ցուցիչով, օրինակ ՝ x) և՛ կատարյալ քառակուսիներ են, և՛ կատարյալ խորանարդներ: Այսպիսով, վեցերորդ կարգի տերմիններով երկհամարանիշերին, օրինակ ՝ x - 64, կարելի է կիրառել (ցանկացած հերթականությամբ) քառակուսիների և խորանարդի տարբերության բանաձևերը: Բայց ավելի լավ է նախ կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձևը, որպեսզի ավելի ճիշտ քայքայվի երկհամարանիշով:

Գուշացումներ

• Երկիմաստը, որը կատարյալ քառակուսիների գումարն է, չի կարող գործոնավորվել: