Ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները

Տեսանյութ: Քառակուսային հավասարման լուծումը. լրիվ քառակուսու առանձնացում | Հանրահաշիվ | «Քան» ակադեմիա

Բովանդակություն

Քայլեր

Եռանկյունաչափական հավասարումը պարունակում է «x» փոփոխականի մեկ կամ մի քանի եռանկյունաչափական գործառույթներ (կամ ցանկացած այլ փոփոխական): Եռանկյունաչափական հավասարման լուծում գտնելը այնպիսի «x» արժեք է, որը բավարարում է ֆունկցիան (ներ) ին և հավասարումը ՝ որպես ամբողջություն:

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները արտահայտվում են աստիճաններով կամ ռադիաններով: Օրինակներ.

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 աստիճան; x = 37,12 աստիճան; x = 178,37 աստիճան:

Նշում. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները `արտահայտված ռադիաններով և անկյուններից, արտահայտված աստիճաններով, հավասար են: Մեկին հավասար շառավղով եռանկյունաչափական շրջան է օգտագործվում եռանկյունաչափական գործառույթները նկարագրելու, ինչպես նաև հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարումների լուծման ճշտությունը ստուգելու համար:
Եռանկյունաչափական հավասարումների օրինակներ.
- մեղք x + մեղք 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
- cos 3x + sin 2x = cos x; 2 մեղք 2x + cos x = 1:

Մեկ շառավղով եռանկյունաչափական շրջան (միավորի շրջան):
- Այն մեկն է, որի շառավիղը հավասար է մեկին և կենտրոնը O կետում: Միավորի շրջանակը նկարագրում է «x» փոփոխականի 4 հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որտեղ «x» - ը այն անկյունն է, որը չափվում է X առանցքի ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:
- Եթե «x» - ը որոշակի անկյուն է միավորի շրջանակի վրա, ապա.
- OAx հորիզոնական առանցքը սահմանում է F (x) = cos x գործառույթը:
- OBy ուղղահայաց առանցքը սահմանում է F (x) = sin x գործառույթը:
- Ուղղահայաց առանցքը AT սահմանում է F (x) = tan x գործառույթը:
- BU հորիզոնական առանցքը սահմանում է F (x) = ctg x գործառույթը:

Միավոր շրջանն օգտագործվում է նաև հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարումների լուծման համար (դրա վրա հաշվի են առնվում «x» - ի տարբեր դիրքերը):

Քայլեր

1 Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հայեցակարգը:
- Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն վերածեք մեկ կամ մի քանի հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների: Եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը ի վերջո հանգում է չորս հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը:
2 Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում:
- Գոյություն ունեն հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների 4 տեսակ.
- մեղք x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ներառում է միավորի շրջանակի տարբեր x դիրքերի դիտումը և փոխակերպման աղյուսակի (կամ հաշվիչի) օգտագործումը:
- Օրինակ 1. մեղք x = 0.866: Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչը), դուք ստանում եք պատասխանը ՝ x = π / 3: Միավոր շրջանակը տալիս է մեկ այլ պատասխան ՝ 2π / 3: Հիշեք. Բոլոր եռանկյունաչափական գործառույթները պարբերական են, այսինքն ՝ դրանց արժեքները կրկնվում են: Օրինակ ՝ մեղքի x և cos x պարբերականությունը 2πn է, իսկ tg x և ctg x պարբերականությունը ՝ πn: Հետևաբար, պատասխանը գրված է հետևյալ կերպ.
- x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
- Օրինակ 2. կոս x = -1/2: Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչը) ՝ դուք ստանում եք պատասխանը ՝ x = 2π / 3: Միավոր շրջանակը տալիս է մեկ այլ պատասխան ՝ -2π / 3:
- x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
- Օրինակ 3.tg (x - π / 4) = 0:
- Պատասխան ՝ x = π / 4 + πn:
- Օրինակ 4. ctg 2x = 1.732:
- Պատասխան ՝ x = π / 12 + πn:
3 Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար օգտագործվող փոխակերպումներ:
- Եռանկյունաչափական հավասարումները փոխակերպելու համար օգտագործվում են հանրահաշվական փոխակերպումները (ֆակտորիզացիա, միատարր տերմինների կրճատում և այլն) և եռանկյունաչափական ինքնությունները:
- Օրինակ 5. Եռանկյունաչափական նույնականացումների միջոցով sin x + sin 2x + sin 3x = 0 հավասարումը վերածվում է 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 հավասարման: Այսպիսով, դուք պետք է լուծել հետևյալ հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները. cos x = 0; մեղք (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0:
4 Գործառույթների հայտնի արժեքներից անկյուններ գտնելը:
- Նախքան եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ սովորելը, դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես գտնել անկյուններ գործառույթների հայտնի արժեքներից: Դա կարելի է անել ՝ օգտագործելով փոխարկման աղյուսակ կամ հաշվիչ:
- Օրինակ ՝ cos x = 0.732: Հաշվիչը պատասխանը կտա x = 42,95 աստիճան: Միավոր շրջանակը կտա լրացուցիչ անկյուններ, որոնց կոսինուսը նույնպես 0.732 է:
5 Լուծումը մի կողմ դրեք միավորի շրջանագծի վրա:
- Դուք կարող եք հետաձգել եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները միավորի շրջանակի վրա: Միավոր շրջանագծի վրա եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները կանոնավոր բազմանկյան գագաթներ են:
- Օրինակ ՝ միավոր շրջանագծի x = π / 3 + πn / 2 լուծումները քառակուսու գագաթներն են:
- Օրինակ ՝ միավոր շրջանագծի x = π / 4 + πn / 3 լուծումները ներկայացնում են կանոնավոր վեցանկյան գագաթներ:
6 Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ:
- Եթե տրված եռանկյունի հավասարումը պարունակում է միայն մեկ եռանկյունի գործառույթ, լուծեք այդ հավասարումը որպես հիմնական եռանկյունի հավասարում:Եթե տրված հավասարումը ներառում է երկու կամ ավելի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ապա այդպիսի հավասարման լուծման 2 եղանակ կա (կախված դրա փոխակերպման հնարավորությունից):
  - Մեթոդ 1.
- Փոխակերպեք այս հավասարումը ձևի հավասարման. F (x) * g (x) * h (x) = 0, որտեղ f (x), g (x), h (x) հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ են:
- Օրինակ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
- Լուծում: Կրկնակի անկյան բանաձև sin 2x = 2 * sin x * cos x, փոխարինեք sin 2x:
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները ՝ cos x = 0 և (sin x + 1) = 0:
- Օրինակ 7. կոս x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
- Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականություններ ՝ այս հավասարումը վերածեք ձևի հավասարման. Cos 2x (2cos x + 1) = 0. Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները. Cos 2x = 0 և (2cos x + 1) = 0:
- Օրինակ 8. մեղք x - մեղք 3x = cos 2x: (0 x 2π)
- Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականություններ ՝ այս հավասարումը վերածեք ձևի հավասարման ՝ -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները. 0
  - Մեթոդ 2.
- Տրված եռանկյունաչափական հավասարումը փոխակերպի՛ր միայն մեկ եռանկյունաչափական գործառույթ պարունակող հավասարման: Հետո այս եռանկյունաչափական ֆունկցիան փոխարինեք ինչ -որ անհայտով, օրինակ ՝ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t և այլն):
- Օրինակ 9.3 սին ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π):
- Լուծում: Այս հավասարման մեջ (cos ^ 2 x) փոխարինեք (1 - sin ^ 2 x) (ըստ ինքնության): Փոխակերպված հավասարումը հետևյալն է.
- 3 սին ^ 2 x - 2 + 2 սին ^ 2 x - 4 սին x - 7 = 0. sin x- ը փոխարինել t- ով: Հավասարումն այժմ ունի այս տեսքը ՝ 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Սա քառակուսի հավասարում է երկու արմատով ՝ t1 = -1 և t2 = 9/5: Երկրորդ արմատը t2 չի բավարարում գործառույթի արժեքների տիրույթը (-1 sin x 1): Այժմ որոշեք. T = sin x = -1; x = 3π / 2:
- Օրինակ 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- Լուծում: Tg x- ը փոխարինել t- ով: Սկզբնական հավասարումը վերաշարադրեք հետևյալ կերպ. (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Այժմ գտեք t, ապա գտեք x- ը t = tg x- ի համար:
7 Հատուկ եռանկյունաչափական հավասարումներ:
- Կան մի քանի հատուկ եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնք պահանջում են հատուկ փոխակերպումներ: Օրինակներ.
- a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
- a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8 Եռանկյունաչափական գործառույթների պարբերականությունը:
- Ինչպես արդեն նշվեց, բոլոր եռանկյունաչափական գործառույթները պարբերական բնույթ են կրում, այսինքն ՝ դրանց արժեքները կրկնվում են որոշակի ժամանակաշրջանից հետո: Օրինակներ.
  - F (x) = sin x գործառույթի ժամանակահատվածը 2π է:
  - F (x) = tan x ֆունկցիայի ժամանակահատվածը հավասար է π.
  - F (x) = sin 2x ֆունկցիայի ժամանակահատվածը π է:
  - F (x) = cos (x / 2) ֆունկցիայի ժամանակահատվածը 4π է:
- Եթե խնդրի մեջ նշված է ժամանակահատվածը, հաշվարկեք «x» արժեքը այս ժամանակահատվածում:
- Նշում. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը հեշտ գործ չէ և հաճախ հանգեցնում է սխալների: Այսպիսով, ուշադիր ստուգեք ձեր պատասխանները: Դա անելու համար կարող եք օգտագործել գրաֆիկական հաշվիչ ՝ տրված R (x) = 0. հավասարումը գծելու համար: Նման դեպքերում լուծումները կներկայացվեն որպես տասնորդական կոտորակներ (այսինքն, π- ը փոխարինվում է 3.14 -ով):