Բովանդակություն

• Քայլեր
• Մեթոդ 1 -ից 3 -ը `Ինչպես լուծել խորանարդի հավասարումը` առանց հաստատուն տերմինի
• Մեթոդ 2 3 -ից. Ինչպես գտնել ամբողջ արմատները ՝ օգտագործելով բազմապատկիչներ
• 3 -րդ մեթոդ 3 -ից. Ինչպես լուծել հավասարումը խտրականին օգտագործելով

Խորանարդի հավասարման մեջ ամենաբարձր ցուցիչը 3 է, նման հավասարումը ունի 3 արմատ (լուծումներ) և ունի ձև ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Որոշ խորանարդ հավասարումներ լուծելն այնքան էլ հեշտ չէ, բայց եթե կիրառես ճիշտ մեթոդը (լավ տեսական հիմքով), ապա կարող ես գտնել նույնիսկ ամենաբարդ խորանարդի հավասարման արմատները. Դրա համար քառակուսի հավասարման լուծման բանաձևը գտիր ամբողջ արմատները, կամ հաշվարկել խտրականությունը:

Քայլեր

Մեթոդ 1 -ից 3 -ը `Ինչպես լուծել խորանարդի հավասարումը` առանց հաստատուն տերմինի

1. 1 Պարզեք, արդյոք կա խորանարդի հավասարման մեջ ազատ տերմին դ{ displaystyle d}. Խորանարդի հավասարումը ունի ձև ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Որպեսզի հավասարումը համարվի խորանարդ, բավական է, որ միայն տերմինը ${ displaystyle x ^ {3}}$ (այսինքն ՝ այլ անդամներ ընդհանրապես չեն կարող լինել):
   • Եթե ​​հավասարումը ունի ազատ տերմին ${ displaystyle d}$, օգտագործել այլ մեթոդ:
   • Եթե ​​հավասարման մեջ ${ displaystyle a = 0}$, դա խորանարդ չէ:
2. 2 Հանել փակագծերից x{ displaystyle x}. Քանի որ հավասարման մեջ չկա ազատ տերմին, ապա հավասարման յուրաքանչյուր տերմին ներառում է փոփոխականը ${ displaystyle x}$... Սա նշանակում է, որ մեկը ${ displaystyle x}$ կարող է հանվել փակագծերից `հավասարումը պարզեցնելու համար: Այսպիսով, հավասարումը կգրվի այսպես. ${ ցուցադրման ոճ x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Օրինակ ՝ տրված խորանարդի հավասարումը ${ ցուցադրման ոճ 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Հանել ${ displaystyle x}$ փակագծեր և ստացեք ${ ցուցադրման ոճ x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Գործոն (երկու երկվանի արտադրանք) քառակուսի հավասարումը (հնարավորության դեպքում): Ձևի բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ կարող է գործոնավորվել: Նման հավասարումը կստացվի, եթե հանենք ${ displaystyle x}$ փակագծերից դուրս: Մեր օրինակում.
   • Հանել փակագծերից ${ displaystyle x}$: ${ ցուցադրման ոճ x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Գործոնավորիր քառակուսային հավասարումը. ${ ցուցադրման ոճ x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Յուրաքանչյուր աղբաման հավասարեցրեք ${ displaystyle 0}$... Այս հավասարման արմատներն են ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Լուծիր քառակուսի հավասարումը ՝ օգտագործելով հատուկ բանաձև: Դա արեք, եթե քառակուսային հավասարումը հնարավոր չէ գործոնավորել: Հավասարման երկու արմատ գտնելու համար `գործակիցների արժեքները ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ փոխարինել բանաձևում ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Մեր օրինակում փոխարինեք գործակիցների արժեքները ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ ցուցադրման ոճ -2}$, ${ ցուցադրման ոճ 14}$) բանաձևի մեջ.

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Առաջին արմատ.

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Երկրորդ արմատ.

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Որպես խորանարդի հավասարման լուծումներ օգտագործեք զրո և քառակուսի արմատներ: Քառակուսային հավասարումները երկու արմատ ունեն, իսկ խորանարդիկինը `երեք: Դուք արդեն գտել եք երկու լուծում. Սրանք քառակուսի հավասարման արմատներն են: Եթե ​​փակագծերից դուրս դնեք «x», ապա երրորդ լուծումը կլինի ${ displaystyle 0}$.
   • Եթե ​​փակագծերից հանեք «x» - ը, կստանաք ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$այսինքն ՝ երկու գործոն. ${ displaystyle x}$ և քառակուսի հավասարումը փակագծերում: Եթե ​​այս գործոններից որևէ մեկն է ${ displaystyle 0}$, ամբողջ հավասարումը նույնպես հավասար է ${ displaystyle 0}$.
   • Այսպիսով, քառակուսային հավասարման երկու արմատներ են խորանարդի հավասարման լուծումները: Երրորդ լուծումն է ${ displaystyle x = 0}$.

Մեթոդ 2 3 -ից. Ինչպես գտնել ամբողջ արմատները ՝ օգտագործելով բազմապատկիչներ

1. 1 Համոզվեք, որ խորանարդի հավասարման մեջ կա ազատ տերմին դ{ displaystyle d}. Եթե ​​ձեւի հավասարման մեջ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ կա ազատ անդամ ${ displaystyle d}$ (որը հավասար չէ զրոյի), չի աշխատի «x» -ը փակագծերից դուրս դնելը: Այս դեպքում օգտագործեք այս բաժնում նկարագրված մեթոդը:
   • Օրինակ ՝ տրված խորանարդի հավասարումը ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Հավասարման աջ կողմում զրո ստանալու համար ավելացրեք ${ ցուցադրման ոճ 6}$ հավասարման երկու կողմերին:
   • Հավասարումը կստացվի ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Ինչպես ${ displaystyle d = 6}$, առաջին բաժնում նկարագրված մեթոդը չի կարող օգտագործվել:
2. 2 Գրեք գործակցի գործոնները ա{ displaystyle a} և անվճար անդամ դ{ displaystyle d}. Այսինքն ՝ գտեք at թվի գործոնները ${ displaystyle x ^ {3}}$ և թվեր ՝ հավասարության նշանից առաջ: Հիշենք, որ թվի գործոններն են այն թվերը, որոնք բազմապատկելիս արտադրում են այդ թիվը:
   • Օրինակ ՝ համարը ստանալու համար 6, դուք պետք է բազմապատկեք ${ displaystyle 6 անգամ 1}$ եւ ${ displaystyle 2 անգամ 3}$... Այսպիսով, թվերը 1, 2, 3, 6 թվի գործոններն են 6.
   • Մեր հավասարման մեջ ${ displaystyle a = 2}$ եւ ${ displaystyle d = 6}$... Բազմապատկիչներ 2 են 1 եւ 2... Բազմապատկիչներ 6 թվերն են 1, 2, 3 եւ 6.
3. 3 Բաժանեք յուրաքանչյուր գործոն ա{ displaystyle a} յուրաքանչյուր գործոնի համար դ{ displaystyle d}. Արդյունքում, դուք ստանում եք շատ կոտորակներ և մի քանի ամբողջ թվեր. խորանարդի հավասարման արմատները կլինեն ամբողջ թվերից մեկը կամ ամբողջ թվերից մեկի բացասական արժեքը:
   • Մեր օրինակում գործոնները բաժանեք ${ displaystyle a}$ (1 եւ 2) ըստ գործոնների ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 եւ 6): Դուք կստանաք ՝ ${ ցուցադրման ոճ 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ եւ ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Այժմ այս ցուցակին ավելացրեք ստացված կոտորակների և թվերի բացասական արժեքները. ${ ցուցադրման ոճ 1}$, ${ ցուցադրման ոճ -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ ցուցադրման ոճ -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ եւ ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Խորանարդային հավասարման ամբողջ արմատները այս թվից մի քանի թվեր են:
4. 4 Միացրեք ամբողջ թվերը խորանարդի հավասարման մեջ: Եթե ​​հավասարությունը ճշմարիտ է, ապա փոխարինված թիվը հավասարման արմատն է: Օրինակ ՝ փոխարինիր հավասարման մեջ ${ ցուցադրման ոճ 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, այսինքն ՝ հավասարություն չի պահպանվում: Այս դեպքում միացրեք հաջորդ համարը:
   • Փոխարինող ${ ցուցադրման ոճ -1}$: ${ ցուցադրման ոճ (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Այսպիսով, ${ ցուցադրման ոճ -1}$ հավասարման ամբողջ արմատն է:
5. 5 Օգտագործեք բազմանդամների բաժանման մեթոդը ըստ Հորների սխեմանավելի արագ գտնել հավասարման արմատները: Դա արեք, եթե չեք ցանկանում թվերը ձեռքով փոխարինել հավասարման մեջ: Հորների սխեմայում ամբողջ թվերը բաժանվում են հավասարման գործակիցների արժեքներով ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ եւ ${ displaystyle d}$... Եթե ​​թվերը հավասարապես բաժանվում են (այսինքն ՝ մնացածը ՝ ${ displaystyle 0}$), ամբողջ թիվը հավասարման արմատն է:
   • Հորների սխեման արժանի է առանձին հոդվածի, բայց ստորև բերված է այս սխեմայի միջոցով մեր խորանարդի հավասարման արմատներից մեկը հաշվարկելու օրինակ.

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Այսպիսով, մնացորդն է ${ displaystyle 0}$, բայց ${ ցուցադրման ոճ -1}$ հավասարման արմատներից մեկն է:

3 -րդ մեթոդ 3 -ից. Ինչպես լուծել հավասարումը խտրականին օգտագործելով

1. 1 Գրեք հավասարման գործակիցների արժեքները ա{ displaystyle a}, բ{ displaystyle b}, գ{ displaystyle c} եւ դ{ displaystyle d}. Խորհուրդ ենք տալիս նախապես գրել նշված գործակիցների արժեքները, որպեսզի հետագայում չշփոթվեք:
   • Օրինակ, հաշվի առնելով հավասարումը ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Գրի՛ր ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ եւ ${ displaystyle d = -1}$... Հիշեցնենք, որ եթե նախկինում ${ displaystyle x}$ չկա թիվ, համապատասխան գործակիցը դեռ գոյություն ունի և հավասար է դրան ${ ցուցադրման ոճ 1}$.
2. 2 Հաշվեք զրոյական խտրականությունը `օգտագործելով հատուկ բանաձև: Տարբերակիչով խորանարդի հավասարումը լուծելու համար հարկավոր է կատարել մի շարք բարդ հաշվարկներ, բայց եթե բոլոր քայլերը ճիշտ կատարես, այս մեթոդը անփոխարինելի կդառնա ամենաբարդ խորանարդիկ հավասարումները լուծելու համար: Առաջին հաշվարկ ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (զրոյական խտրականություն) մեզ անհրաժեշտ առաջին արժեքն է. դա անելու համար փոխարինեք բանաձևի համապատասխան արժեքները ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Խտրականը մի թիվ է, որը բնութագրում է բազմանդամի արմատները (օրինակ ՝ քառակուսային հավասարման խտրականությունը հաշվարկվում է բանաձևով ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Մեր հավասարման մեջ.

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ ցուցադրման ոճ 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Հաշվարկեք առաջին խտրականությունը բանաձևի միջոցով Δ1=2բ3−9աբգ+27ա2դ{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Առաջին խտրական ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - սա երկրորդ կարևոր արժեքն է. այն հաշվարկելու համար համապատասխան արժեքները միացրեք նշված բանաձևին:
   • Մեր հավասարման մեջ.

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ ցուցադրման ոճ 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Հաշվարկել.${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Այսինքն ՝ ստացված արժեքների միջոցով գտեք խորանարդի հավասարման խտրականությունը ${ displaystyle Delta _ {0}}$ եւ ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Եթե ​​խորանարդի հավասարման խտրականությունը դրական է, ապա հավասարումը երեք արմատ ունի. եթե խտրականը զրո է, ապա հավասարումը մեկ կամ երկու արմատ ունի. եթե խտրականը բացասական է, ապա հավասարումը մեկ արմատ ունի:
   • Խորանարդի հավասարումը միշտ ունի առնվազն մեկ արմատ, քանի որ այս հավասարման գրաֆիկը հատում է X առանցքը առնվազն մեկ կետում:
   • Մեր հավասարման մեջ ${ displaystyle Delta _ {0}}$ եւ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ հավասար են ${ displaystyle 0}$, այնպես որ կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Այսպիսով, մեր հավասարումը մեկ կամ երկու արմատ ունի:

5. 5 Հաշվարկել.${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { ձախ ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } աջ) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - սա վերջին կարևոր քանակն է, որը կարելի է գտնել. դա կօգնի ձեզ հաշվարկել հավասարման արմատները: Փոխարինեք արժեքները նշված բանաձևի մեջ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ եւ ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Մեր հավասարման մեջ.

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Գտեք հավասարման երեք արմատ: Դա արեք բանաձևով ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, որտեղ ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, բայց n հավասար է 1, 2 կամ 3... Այս բանաձևի մեջ փոխարինիր համապատասխան արժեքները. Արդյունքում ՝ կստանաս հավասարման երեք արմատ:
   • Հաշվարկեք արժեքը ՝ օգտագործելով բանաձևը n = 1, 2 կամ 3և ապա ստուգեք պատասխանը: Եթե ​​ձեր պատասխանը ստուգելիս ստանում եք 0, ապա այս արժեքը հավասարման արմատն է:
   • Մեր օրինակում `փոխարինող 1 մեջ ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ և ստացեք 0, այսինքն ՝ 1 հավասարման արմատներից մեկն է: