Բովանդակություն

• Քայլեր
• Խորհուրդներ
• Ինչ է պետք

Մաթեմատիկայում գործոնների վերլուծություն տրված թվի կամ հավասարության արտադրյալով թվեր կամ արտահայտություններ գտնելն է: Գործոնների վերլուծությունը օգտակար հանրահաշվական հիմնախնդիրների լուծման համար սովորելու օգտակար հմտություն է. Լավ գործոնավորելու կարողությունը գրեթե կարևոր է, երբ գործը հասնում է գործին: հանրահաշվական հավասարումների կամ այլ բազմանդամ ձեւերի հետ: Գործոնների վերլուծությունը կարող է օգտագործվել հանրահաշվական արտահայտությունները նվազեցնելու համար ՝ խնդիրը դարձնելով ավելի պարզ: Դրան շնորհիվ կարող եք նույնիսկ որոշ հնարավոր պատասխաններ շատ ավելի արագ վերացնել, քան ձեռքով լուծելը:

Քայլեր

3-ի մեթոդը 1. Թվերը և հիմնական հանրահաշվական արտահայտությունները վերլուծեք գործոնների մեջ

1. 

   
   
   Հասկացեք գործոնների վերլուծության սահմանումը `մեկ թվերին դիմելիս: Չնայած հայեցակարգային առումով պարզ, գործնականում բարդ հավասարումներ կիրառելը կարող է բավականին դժվար լինել: Հետևաբար, գործոնների վերլուծության ամենադյուրին հայեցակարգային մոտեցումն է սկսել միայնակ թվերից, ապա անցնել պարզ հավասարումների ՝ նախքան ավելի առաջադեմ ծրագրերին անցնելը: Գործոն տրված համարի համար նույն թվերի արտադրյալով թվեր են: Օրինակ, 1, 12, 2, 6, 3 և 4-ը 12-ի գործոններ են, քանի որ 1 × 12, 2 × 6 և 3 × 4 բոլորը հավասար են 12-ի:
   • Այլ կերպ ասած, տրված թվի գործոնները թվեր են բաժանված է այդ թվով:
   • Կարո՞ղ եք գտնել 60-ի լրիվ գործոնը: 60 թիվը օգտագործվում է շատ տարբեր նպատակների համար (րոպեում մեկ ժամում, վայրկյանում մեկ րոպեի ընթացքում և այլն), քանի որ այն բաժանվում է շատ թվերի:
     • 60 թիվը ունի հետևյալ գործոնները. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 և 60:

2. 

   
   
   Հասկացեք, որ փոփոխականներ պարունակող արտահայտությունները կարող են նաև ֆակտորացված լինել: Ինչպես նաև անկախ թվեր, թվաբանական գործակիցներով փոփոխականները կարող են նաև ֆակտորացված լինել: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է գտնել փոփոխականի գործակցի գործոնները: Անալիզը ֆակտորիզացնել իմանալը շատ օգտակար է փոփոխականներ պարունակող հանրահաշվական պարզ վերափոխումների մեջ:
   • Օրինակ `12x- ը կարող է վերաշարադրվել` 12-ի և x- ի արդյունքները: Հնարավոր է 12x գրել որպես 3 (4x), 2 (6x) և այլն, և օգտագործել ցանկացած գործոն, որը լավագույնս համապատասխանում է 12-ի նախատեսված օգտագործմանը:
     • Դուք նույնիսկ կարող եք հասնել մինչև 12x վերլուծություն բազմաթիվ անգամ, Այլ կերպ ասած, անհրաժեշտություն չկա կանգ առնել 3 (4x) կամ 2 (6x) կետերում. Մենք կարող ենք վերլուծել 4x և 6x ՝ համապատասխանաբար 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) ստանալու համար: Այս բանաձևը համարժեք է:

3. 

   
   
   Կիրառել բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունները հանրահաշվական հավասարումները գործոնավորելու համար: Օգտագործելով թե՛ անկախ թվերը, և թե՛ գործակիցները գործոնների մեջ վերլուծելու ձեր գիտելիքները, կարող եք պարզեցնել հանրահաշվական պարզ հավասարումները ՝ գտնելով հավասարում ընդգրկված թվերի և փոփոխականների ընդհանուր գործոնները: Հաճախ, որպեսզի հավասարումը լինի հնարավորինս պարզ, մենք կփորձենք գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին: Այս պարզ վերափոխումը հնարավոր է բազմապատկման ասոցիատիվ բնույթի շնորհիվ. Յուրաքանչյուր a, b և c թվերի համար մենք ունենք. a (b + c) = ab + ac.
   • Եկեք քննարկենք հետևյալ օրինակի խնդիրը. 12x + 6 հանրահաշվական հավասարումը գործոն դարձնելու համար նախ գտնում ենք, որ 12x և 6-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը. 6-ը ամենամեծ թիվն է, որի վրա բաժանվում են և 12x, և 6, այնպես որ կարող ենք փոխակերպել նվազեցնել հավասարումը 6-ի (2x + 1):
   • Նույն գործընթացը վերաբերում է այն հավասարումների, որոնք ունեն բացասական նշաններ և կոտորակներ: Օրինակ ՝ x / 2 + 4 – ը կարող է պարզապես փոխարկվել 1/2 (x + 8), իսկ –7x + –21 – ը ՝ –7 (x + 3):
   գովազդ

3-ի մեթոդ 2. Քառակուսային հավասարումների վերլուծություն գործոնների մեջ

1. 

   Համոզվեք, որ հավասարումը քառակուսի տեսքով է (ax + bx + c = 0): Քառակուսային հավասարումը ունի ax + bx + c = 0 ձև, որտեղ a, b և c հաստատուններ են, իսկ a- ն ոչ զրո է (նշենք, որ a կարող է հավասար է 1 կամ -1): Եթե ​​մեկ փոփոխական հավասարումը (x) պարունակում է մեկ կամ ավելի տերմիններ, որոնք պարունակում են x քառակուսի, ապա հաճախ կարող եք օգտագործել հիմնական հանրահաշիվը հավասար նշանի մի կողմը դարձնել 0 և թողնել կացին, և այլն: մյուս կողմից.
   • Օրինակ, հանրահաշվական հավասարումը 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 կարող է կրճատվել մինչև x + 6x + 9 = 0, որը քառակուսի ձեւ է:
   • Հավասարումներ, որտեղ x- ն ունի ավելի բարձր արտահայտիչ, ինչպիսիք են x, x և այլն: չի կարող լինել քառակուսային: Դրանք քառակուսային են, չորրորդական, ... եթե հավասարումը հնարավոր չէ կրճատել `վերացնելով x- ի 3 կամ ավելի ուժեր պարունակող տերմինները:

2. 

   Քառակուսային հավասարումների դեպքում, երբ a = 1, մենք քայքայվում ենք (x + d) (x + e), որտեղ d × e = c և d + e = b: Եթե ​​քառակուսային հավասարումը x + bx + c = 0 տեսքով է (կամ այլ կերպ ասած, եթե x = 1 գործակից), ապա կա հավանականություն (բայց վստահ չէ), որ մենք կարողանանք օգտագործել համեմատաբար արագ հաշվարկ: պարզ է գործածել այս հավասարումը: Գտեք c- ի հավասար երկու թվեր և գումարը հավասար է բ. Երբ գտնեք d և e, դրանք փոխարինեք հետևյալ արտահայտությամբ. (x + d) (x + e), Երբ միասին բազմապատկվում են, այս երկու տարրերը մեզ տալիս են վերը նշված քառակուսային հավասարումը - այլ կերպ ասած, դրանք հավասարման գործոններ են:
   • Օրինակ վերցնենք x + 5x + 6 = 0. քառակուսային հավասարումը. 3-ը և 2-ը ունեն 6-ի արդյունք և միևնույն ժամանակ ունեն ընդհանուր 5-ը: Հետևաբար, մենք կարող ենք պարզապես հավասարումը վերափոխել (x + 3) ( x + 2):
   • Այս հիմնական արագ շտկումը մի փոքր այլ կլինի, երբ հավասարումը ինքնին մի փոքր այլ է.
     • Եթե ​​քառակուսային հավասարումը x-bx + c տեսքով է, ապա ձեր պատասխանը կլինի ձևի ՝ (x - _) (x - _):
     • Եթե ​​դա x + bx + c տեսքով է, ձեր պատասխանը կլինի. (X + _) (x + _):
     • Եթե ​​դա x-bx-c է, ձեր պատասխանը կլինի տեսքով (x + _) (x - _):
   • Նշում. Տարածություններում կարող են լինել կոտորակներ կամ տասնորդականներ: Օրինակ, x + (21/2) x + 5 = 0 հավասարումը քայքայվում է մինչև (x + 10) (x + 1/2):

3. 

   
   
   Հնարավորության դեպքում կատարեք գործոնների վերլուծություն ՝ փորձարկելով: Հավատացեք, թե ոչ, առանց բարդ բարդ քառակուսային հավասարման ՝ ֆակտորիզացիայի ընդունված մեթոդներից մեկը պարզապես խնդրին նայելն է, իսկ հետո կշռել բոլոր հնարավոր պատասխանները, մինչև արդյունքը կգտնվի: ճիշտ պատասխան. Այն հայտնի է նաև որպես փորձարկման մեթոդ:Եթե ​​հավասարումը ունի ax + bx + c և a> 1 ձև, ձեր գործոնի վերլուծությունը կունենա ձև (dx +/- _) (նախկին +/- _), որտեղ d և e հաստատուններ են մյուսը հավասար չէ ա-ին: d կամ e (կամ երկուսն էլ) կարող է հավասար է 1-ի, չնայած պարտադիր չի լինի: Եթե ​​երկուսն էլ հավասար են 1-ի, դուք հիմնականում կօգտագործեիք վերը ցույց տրված արագ աշխատանքը:
   • Հաշվի առեք հետևյալ խնդրի օրինակը: Առաջին հայացքից 3x - 8x + 4 տեսքը բավականին վախեցնող է: Այնուամենայնիվ, երբ գիտակցեք, որ 3-ն ունի ընդամենը երկու գործոն (3 և 1), խնդիրն ավելի հեշտ է դառնում, քանի որ գիտենք, որ պատասխանը պետք է լինի ձևի (3x +/- _) (x +/- _): Այս դեպքում, երկու տեղերում էլ -2-ը փոխարինելը տալիս է ճիշտ պատասխան: -2 × 3x = -6x և -2 × x = -2x: -6x և -2x ընդհանուրը հավասար է -8x: -2 × -2 = 4, հետևաբար, կարելի է տեսնել, որ փակագծերում վերլուծված տարրերը մեզ տալիս են նախնական հավասարումը:

4. 

   
   
   Լուծեք խնդիրը ՝ լրացնելով քառակուսին: Որոշ դեպքերում քառակուսային հավասարումները կարող են արագ և հեշտությամբ բազմապատկվել ՝ օգտագործելով հատուկ հանրահաշվական ինքնություն: X + 2xh + h = (x + h) ձևի ցանկացած քառակուսային հավասարություն: Հետևաբար, եթե հավասարման մեջ b- ը c կրկնակի քառակուսի արմատն է, ապա հավասարումը կարող է քայքայվել (x + (sqrt (c))):
   • Օրինակ, x + 6x + 9 հավասարումը կգործեր այս ձևի համար: 3-ը հավասար է 9-ին և 3 × 2-ը հավասար է 6-ին: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ այս հավասարման ֆակտորիզացման ձևը (x + 3) (x + 3) կամ (x + 3) է:

5. 

   
   
   Լուծել քառակուսային հավասարումներ գործոններով: Wayանկացած դեպքում, քառակուսային արտահայտությունը գործոնավորվելուց հետո, դուք կարող եք գտնել x- ի արժեքի հնարավոր պատասխանը ՝ յուրաքանչյուր գործոն տալով զրո և լուծելով այն: Քանի որ դուք փնտրում եք x- ի այնպիսի արժեք, որ հավասարումը զրո լինի, ցանկացած x, որը զրոյացնում է գործոնը, կլինի այդ հավասարության հնարավոր լուծումը:
   • Վերադարձեք x + 5x + 6 = 0. հավասարմանը: Այն քայքայվում է (x + 3) (x + 2) = 0. Երբ մեկ գործոն զրո է, ամբողջ հավասարումը դառնում է զրո: X- ի հնարավոր լուծումներն այն թվերն են, որոնք (x + 3) և (x + 2) դարձնում են համապատասխանաբար 0, -3 և -2 հավասար:

6. 

   Ստուգեք ձեր պատասխանները. Ոմանք կարող են էկզոտիկ լինել: Երբ գտնեք x- ի հնարավոր լուծումները, դրանք փոխարինեք սկզբնական հավասարմամբ `որոշելու համար, արդյոք դրանք ճիշտ են, թե ոչ: Երբեմն, պատասխանը գտնում է այն ոչ մի խնդիր փոխարինումիս առաջացնում է սկզբնական հավասարումը զրո: Մենք անվանում ենք այդ լուծումները Էկզոտիկ և վերացնել դրանք:
   • Եկեք փոխարինենք -2-ը և -3-ը x + 5x + 6 = 0. Նախ, -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. Այո, այնպես որ -2-ը հավասարման վավեր լուծում է:
   • Հիմա փորձենք -3-ով:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. Սա նույնպես ճիշտ է, ուստի, -3-ը նաև հավասարության վավեր լուծում է:
   գովազդ

3-ի մեթոդ 3. Վերլուծեք այլ տեսակի հավասարումներ գործոնների մեջ

1. 

   Եթե ​​հավասարումը a-b տեսքով է, ապա այն քայքայիր (a + b) (a-b): Երկու փոփոխական հավասարումը վերլուծվում է այլ կերպ, քան հիմնարար քառակուսային հավասարումը: Aանկացած a-b հավասարություն, որում a և b ոչ զրո են, կքայքայվի (a + b) (a-b):
   • Օրինակ, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) հավասարումը:

2. 

   Եթե ​​հավասարումը a + 2ab + b տեսքով է, այն քայքայվում է (a + b): Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե եռանունը լինի a-2ab + b, ֆակտորիզացման ձևը փոքր-ինչ կտարբերվի. (A-b):
   • 4x + 8xy + 4y հավասարումները կարող են վերաշարադրվել որպես 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y: Այժմ մենք տեսնում ենք, որ այն ճիշտ ձևի մեջ է և կարող ենք վստահորեն ասել, որ այս հավասարման ֆակտորիզացման ձևը (2x + 2y) է:

3. 

   Եթե ​​հավասարումը a-b տեսքով է, այն քայքայվում է (a-b) (a + ab + b): Վերջապես, պետք է ասել, որ երեքական հավասարումները և նույնիսկ ավելի բարձր կարգի հավասարումները կարող են գործոնավորվել: Այնուամենայնիվ, վերլուծության գործընթացը շատ արագ կդառնա աներևակայելի բարդ:
   • Օրինակ ՝ 8x - 27y քայքայվում է մինչև (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
   գովազդ

Խորհուրդներ

• a-b- ը կարող է գործոնավորվել, իսկ a + b- ը `ոչ:
• Հիշեք, թե ինչպես ֆակտորացնել հաստատունները. Դա կարող է օգտակար լինել:
• Ֆակտորիզացման գործընթացում ուշադրություն դարձրեք կոտորակներին, ճիշտ և պատշաճ կարգավորեք դրանք:
• X + bx + (b / 2) եռամիասնության դեպքում դրա գործոնացումը կլինի (x + (b / 2)) (քառակուսին լրացնելիս կարող եք բախվել այս իրավիճակի հետ):
• Հիշեք, որ a0 = 0 (հատկությունը բազմապատկած զրոյի վրա):

Ինչ է պետք

• Թուղթ
• Մատիտ
• Մաթեմատիկայի գիրք (անհրաժեշտության դեպքում)