Բովանդակություն

• Քայլել

Եռանկյունաչափական հավասարումը հավասարություն է x փոփոխական եռանկյունաչափական կորի մեկ կամ ավելի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին: X- ի լուծումը նշանակում է գտնել այն եռանկյունաչափական կորերի արժեքները, որոնց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները առաջացնում են եռանկյունաչափական հավասարումը ճշմարիտ:

• Լուծույթի կորերի պատասխանները կամ արժեքները արտահայտվում են աստիճաններով կամ ռադիաններով: Օրինակներ.

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 աստիճան; x = 37,12 աստիճան; x = 178,37 աստիճան

• Նշում. Միավոր շրջանի վրա ցանկացած կորի եռանկյունաչափական գործառույթները հավասար են համապատասխան անկյան եռանկյունաչափական գործառույթներին: Միավոր շրջանը սահմանում է x փոփոխական կորի բոլոր եռանկյունաչափական գործառույթները: Այն նաև օգտագործվում է որպես ապացույց հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ժամանակ:
• Եռանկյունաչափական հավասարումների օրինակներ.
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + մահճակալ x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1:

1. Միավոր շրջանը:
   • Սա շառավղով = 1 շրջան է, որտեղ O- ն է ծագումը: Միավոր շրջանը սահմանում է x փոփոխական կորի 4 հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որոնք այն շրջում են ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:
   • Երբ x արժեքով կորը տատանվում է միավորի շրջանակի վրա, ապա պահում է.
   • OAx հորիզոնական առանցքը սահմանում է f (x) = cos x եռանկյունաչափական ֆունկցիան:
   • OBy- ի ուղղահայաց առանցքը սահմանում է f (x) = sin x եռանկյունաչափական ֆունկցիան:
   • Ուղղահայաց առանցքը AT սահմանում է եռանկյունաչափական ֆունկցիան f (x) = tan x.
   • Հորիզոնական առանցքը BU սահմանում է եռանկյունաչափական գործառույթը f (x) = cot x.

• Միավորի շրջանն օգտագործվում է նաև հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների և ստանդարտ եռանկյունաչափական անհավասարությունների լուծման համար ՝ հաշվի առնելով շրջանագծի վրա x կորի տարբեր դիրքերը:

Քայլել

1. Հասկացեք լուծման մեթոդը:
   • Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն վերածում եք մեկ կամ մի քանի հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, ի վերջո, հանգեցնում է 4 հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը:
2. Իմացեք, թե ինչպես լուծել հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները:
   • Գոյություն ունեն 4 հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ.
   • մեղք x = a; cos x = ա
   • tan x = a; մահճակալ x = ա
   • Կարող եք լուծել հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները ՝ ուսումնասիրելով եռանկյունաչափական շրջանի x կորի տարբեր դիրքերը և օգտագործելով եռանկյունաչափական փոխարկման աղյուսակ (կամ հաշվիչ): Որպեսզի լիովին հասկանաք, թե ինչպես լուծել այս և նմանատիպ հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները, կարդացեք հետևյալ գիրքը. «Եռանկյունաչափություն. Եռանկյունաչափական հավասարումների և անհավասարությունների լուծում» (Amazon E-book 2010):
   • Օրինակ 1. Լուծեք մեղքի համար x = 0.866: Փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչը) տալիս է պատասխանը. X = Pi / 3: Եռանկյունաչափական շրջանակը տալիս է մեկ այլ կորի (2Pi / 3) սինուսի համար նույն արժեքը (0.866): Եռանկյունաչափական շրջանակը տալիս է նաև պատասխանների անսահմանություն, որոնք կոչվում են ընդլայնված պատասխաններ:
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, և x2 = 2Pi / 3: (Պատասխաններ ժամկետում (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi և x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi: (Մանրամասն պատասխաններ):
   • Օրինակ 2. Լուծեք ՝ cos x = -1/2: Հաշվիչները տալիս են x = 2 Pi / 3: Եռանկյունաչափական շրջանակը տալիս է նաև x = -2Pi / 3:
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, և x2 = - 2Pi / 3: (Պատասխաններ ժամանակաշրջանի համար (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi և x2 = -2Pi / 3 + 2k Pi: (Ընդլայնված պատասխաններ)
   • Օրինակ 3. Լուծել. Tan (x - Pi / 4) = 0:
   • x = Pi / 4; (Պատասխան)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Ընդլայնված պատասխան)
   • Օրինակ 4. Լուծել. Մահճակալ 2x = 1.732: Հաշվիչները և եռանկյունաչափական շրջանակը տալիս են.
   • x = Pi / 12; (Պատասխան)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Ընդլայնված պատասխաններ)
3. Սովորեք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ օգտագործված փոխակերպումները:
   • Տրված եռանկյունաչափական հավասարումը ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումների վերափոխելու համար օգտագործեք ստանդարտ հանրահաշվական փոխարկումներ (գործոնացում, ընդհանուր գործոն, բազմանդամներ ...), եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումներ և հատկություններ և եռանկյունաչափական նույնականություններ: Գոյություն ունեն մոտ 31-ը, որոնցից 14-ը եռանկյունաչափական նույնականություններ են, 19-ից 31-ը, որոնք կոչվում են նաև վերափոխման ինքնություններ, քանի որ դրանք օգտագործվում են եռանկյունաչափական հավասարումների փոխարկման ժամանակ: Տե՛ս վերը նշված գիրքը:
   • Օրինակ 5. Եռանկյունաչափական հավասարումը. Sin x + sin 2x + sin 3x = 0 կարելի է վերափոխել հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների արտադրանքի ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականություններ. 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Լուծման հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները `cos x = 0; մեղք (3x / 2) = 0; և cos (x / 2) = 0:
4. Գտեք կորերը, որոնց համար հայտնի են եռանկյունաչափական գործառույթները:
   • Նախքան կկարողանաք սովորել, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները, դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես արագ գտնել կորերը, որոնց համար հայտնի են եռանկյունաչափական գործառույթները: Կորի (կամ անկյունների) փոխարկման արժեքները կարող են որոշվել եռանկյունաչափական աղյուսակների կամ հաշվիչի միջոցով:
   • Օրինակ `լուծեք cos x = 0.732-ի համար: Հաշվիչը տալիս է x = 42,95 աստիճան լուծում: Միավոր շրջանը տալիս է կոսինուսի համար նույն արժեքով այլ կորեր:
5. Պատասխանի աղեղը գծիր միավորի շրջանի վրա:
   • Կարող եք գրաֆիկ ստեղծել ՝ միավորի շրջանակի վրա լուծումը պատկերավորելու համար: Այս կորերի վերջնական կետերը եռանկյունաչափական շրջանի կանոնավոր բազմանկյուններն են: Մի քանի օրինակներ.
   • X = Pi / 3 + k կորի վերջնական կետերը Pi / 2 քառակուսի է միավորի շրջանի վրա:
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 կորերը ներկայացված են միավորի շրջանի վրա վեցանկյունի կոորդինատներով:
6. Իմացեք, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ:
   • Եթե ​​տրված եռանկյունաչափական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա, լուծեք այն որպես ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարություն: Եթե ​​տրված հավասարումը պարունակում է երկու կամ ավելի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, լուծման 2 եղանակ կա ՝ կախված հավասարման վերափոխման ընտրանքներից:
     • Ա. Մեթոդ 1:
   • Եռանկյունաչափական հավասարումը փոխակերպեք ձևի արտադրանքի. F (x) .g (x) = 0 կամ f (x) .g (x). H (x) = 0, որտեղ f (x), g (x) իսկ h (x) հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ են:
   • Օրինակ 6. Լուծել. 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Լուծում Փոխարինեք մեղքը 2x հավասարության մեջ `օգտագործելով նույնականությունը. Sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Դրանից հետո լուծեք 2 ստանդարտ եռանկյունաչափական գործառույթ ՝ cos x = 0 և (sin x + 1) = 0:
   • Օրինակ 7. Լուծել. Cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Լուծում. Փոխարկեք սա արտադրանքի ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները. Cos 2x (2cos x + 1) = 0. Այժմ լուծեք 2 հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները ՝ cos 2x = 0 և (2cos x + 1) = 0:
   • Օրինակ 8. Լուծել. Sin x - sin 3x = cos 2x: (0 x 2Pi)
   • Լուծում. Փոխարկեք սա արտադրանքի ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները. -Cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Այժմ լուծեք 2 հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները ՝ cos 2x = 0 և (2sin x + 1) = 0:
     • Բ. Մոտեցում 2:
   • Trig հավասարումը վերափոխում է trig հավասարման ՝ որպես միայն մեկ եզակի trig գործառույթ ՝ որպես փոփոխական: Կան մի քանի խորհուրդներ, թե ինչպես ընտրել հարմար փոփոխական: Ընդհանուր փոփոխականներն են ՝ sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t և tan (x / 2) = t:
   • Օրինակ 9. Լուծել ՝ 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi):
   • Լուծում Հավասարության մեջ փոխարինեք (cos ^ 2x) - ով (1 - sin ^ 2x) և պարզեցրեք հավասարումը.
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Այժմ օգտագործեք sin x = t: Հավասարումը դառնում է ՝ 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Սա քառակուսային հավասարություն է ՝ 2 արմատով. T1 = -1 և t2 = 9/5: Մենք կարող ենք մերժել երկրորդ t2- ը, քանի որ> 1. Հիմա լուծիր. T = sin = -1 -> x = 3Pi / 2:
   • Օրինակ 10. Լուծեք ՝ tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Լուծում Օգտագործեք tan x = t: Տրված հավասարումը վերափոխեք հավասարության ՝ t որպես փոփոխական. (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Այս արտադրանքից լուծիր t- ի, ապա լուծիր ստանդարտ եռանկյունաչափական հավասարումը tan x = t x- ի համար:
7. Լուծեք հատուկ եռանկյունաչափական հավասարումներ:
   • Գոյություն ունեն մի քանի հատուկ եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնք պահանջում են որոշակի որոշակի փոխարկումներ: Օրինակներ.
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Իմացեք եռանկյունաչափական գործառույթների պարբերական հատկությունները:
   • Բոլոր եռանկյունաչափական գործառույթները պարբերական են, ինչը նշանակում է, որ նրանք որոշակի ժամանակահատվածում պտտվելուց հետո վերադառնում են նույն արժեքին: Օրինակներ.
     • F (x) = sin x ֆունկցիան ունի 2Pi որպես ժամանակաշրջան:
     • F (x) = tan x ֆունկցիան Pi ունի որպես ժամանակահատված:
     • F (x) = sin 2x ֆունկցիան ունի Pi որպես ժամանակահատված:
     • F (x) = cos (x / 2) ֆունկցիան որպես ժամանակաշրջան ունի 4Pi:
   • Եթե ​​ժամանակահատվածը նշված է վարժություններում / թեստում, ապա այս ժամանակահատվածում պարզապես անհրաժեշտ է գտնել x կորը (ներ) ը:
   • ՆՇՈՒՄ. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը բարդ է և հաճախ հանգեցնում է սխալների և սխալների: Հետեւաբար, պատասխանները պետք է ուշադիր ստուգվեն: Լուծելուց հետո պատասխանները կարող եք ստուգել ՝ օգտագործելով գրաֆիկական հաշվիչ, տրված եռանկյունաչափական R (x) = 0. հավասարման ուղղակի ներկայացման համար: Պատասխանները (որպես քառակուսի արմատ) տրվում են տասնորդական կետերով: Որպես օրինակ, Pi- ի արժեքը կազմում է 3.14