Բովանդակություն

• Նախնական տեղեկություններ
• Քայլեր
• Մաս 1 -ից 3 -ից. Հիմունքներ
• 3 -րդ մաս 2 -ից. Լապլասի փոխակերպման հատկությունները
• Մաս 3 -ից 3 -ից. Գտնելով Լապլասի փոխակերպումը շարքի ընդլայնմամբ

Լապլասի փոխակերպումը անբաժանելի փոխակերպում է, որն օգտագործվում է հաստատուն գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելու համար: Այս փոխակերպումը լայնորեն կիրառվում է ֆիզիկայի և ճարտարագիտության մեջ:

Թեև կարող եք օգտագործել համապատասխան աղյուսակները, օգտակար է հասկանալ Լապլասի կերպարանափոխությունը, որպեսզի անհրաժեշտության դեպքում ինքներդ դա անեք:

Նախնական տեղեկություններ

• Տրված գործառույթ ${ ցուցադրման ոճ f (t)}$համար սահմանված ${ displaystyle t geq 0.}$ Հետո Լապլասի փոխակերպում գործառույթը ${ ցուցադրման ոճ f (t)}$ յուրաքանչյուր արժեքի հաջորդ գործառույթն է ${ displaystyle s}$, որտեղ ինտեգրալը համընկնում է.
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Լապլասի տրանսֆորմացիան գործառույթ է իրականացնում t- շրջանից (ժամանակային սանդղակ) մինչև s- շրջան (փոխակերպման շրջան), որտեղ ${ ցուցադրման ոճ F (ներ)}$ բարդ փոփոխականի բարդ գործառույթ է: Այն թույլ է տալիս գործառույթը տեղափոխել այն տարածք, որտեղ ավելի հեշտությամբ կարելի է լուծում գտնել:
• Ակնհայտ է, որ Լապլասի փոխակերպումը գծային օպերատոր է, այնպես որ, եթե գործ ունենք պայմանների գումարի հետ, ապա յուրաքանչյուր ինտեգրալ կարելի է հաշվարկել առանձին:
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Հիշեք, որ Լապլասի փոխակերպումը գործում է միայն այն դեպքում, երբ ինտեգրալը համընկնում է: Եթե ​​գործառույթը ${ ցուցադրման ոճ f (t)}$ ունի անընդհատություններ, անհրաժեշտ է զգույշ լինել և ճիշտ սահմանել ինտեգրման սահմանները `անորոշությունից խուսափելու համար:

Քայլեր

Մաս 1 -ից 3 -ից. Հիմունքներ

1. 1 Ֆունկցիան փոխարինեք Լապլասի փոխակերպման բանաձևով: Տեսականորեն, ֆունկցիայի Լապլասի փոխակերպումը շատ հեշտ է հաշվարկել: Որպես օրինակ, հաշվի առեք գործառույթը ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, որտեղ ${ displaystyle a}$ -ի հետ բարդ հաստատուն է ${ displaystyle operatorname {Re} (ներ) operatornname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Գնահատեք ինտեգրալը ՝ օգտագործելով առկա մեթոդները: Մեր օրինակում գնահատումը շատ պարզ է, և դուք կարող եք գլուխ հանել պարզ հաշվարկներից: Ավելի բարդ դեպքերում կարող են անհրաժեշտ լինել ավելի բարդ մեթոդներ, օրինակ ՝ ինտեգրումը մասերով կամ տարբերակումը ինտեգրալ նշանի տակ: Սահմանափակող պայման ${ displaystyle operatorname {Re} (ներ) operatornname {Re} (a)}$ նշանակում է, որ ինտեգրալը համընկնում է, այսինքն ՝ դրա արժեքը ձգտում է 0 -ի, քանի որ ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} վերջ {հավասարեցված}}}$
   • Նկատի ունեցեք, որ սա մեզ տալիս է Լապլասի փոխակերպման երկու տեսակ ՝ սինուսով և կոսինուսով, քանի որ ըստ Էյլերի բանաձևի ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Այս դեպքում հայտարարի մեջ մենք ստանում ենք ${ displaystyle s-ia,}$ և մնում է միայն որոշել իրական և երևակայական մասերը: Կարող եք նաև ուղղակիորեն գնահատել արդյունքը, բայց դա մի փոքր ավելի երկար կտևի:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {{}} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + ա ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + ա ^ {2}}}}$
3. 3 Մտածեք ուժային գործառույթի Լապլասի փոխակերպման մասին: Նախ, դուք պետք է սահմանեք էներգիայի գործառույթի փոխակերպումը, քանի որ գծայնության հատկությունը թույլ է տալիս գտնել փոխակերպումը դրա համար բոլորից բազմանդամներ. Ձևի գործառույթ ${ displaystyle t ^ {n},}$ որտեղ ${ displaystyle n}$ - ցանկացած դրական ամբողջ թիվ: Կարող է մաս առ մաս ինտեգրվել `ռեկուրսիվ կանոն սահմանելու համար:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Այս արդյունքը արտահայտվում է անուղղակիորեն, բայց եթե փոխարինեք մի քանի արժեքներ ${ displaystyle n,}$ կարող եք սահմանել որոշակի օրինաչափություն (փորձեք դա անել ինքներդ), ինչը թույլ է տալիս ստանալ հետևյալ արդյունքը.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Կարող եք նաև սահմանել կոտորակային ուժերի Լապլասի փոխակերպումը `օգտագործելով գամմա գործառույթը: Օրինակ, այս կերպ դուք կարող եք գտնել այնպիսի գործառույթի փոխակերպում, ինչպիսին է ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Գամմա (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Թեև կոտորակային ուժ ունեցող գործառույթները պետք է ունենան կրճատումներ (հիշեք, ցանկացած բարդ թվեր ${ displaystyle z}$ եւ ${ ցուցադրման ոճ ալֆա}$ կարող է գրվել որպես ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, քանի որ ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), դրանք միշտ կարող են սահմանվել այնպես, որ կտրվածքները ընկած լինեն ձախ կիսաեզրափակիչում, և այդպիսով խուսափել վերլուծության հետ կապված խնդիրներից:

3 -րդ մաս 2 -ից. Լապլասի փոխակերպման հատկությունները

1. 1 Եկեք գտնենք ֆունկցիայի Լապլասի փոխակերպումը բազմապատկած եատ{ displaystyle e ^ {at}}. Նախորդ բաժնում ձեռք բերված արդյունքները թույլ տվեցին մեզ պարզել Լապլասի տրանսֆորմացիայի որոշ հետաքրքիր հատկություններ: Լապլասյան գործառույթների փոխակերպումը, ինչպիսիք են կոսինուսը, սինուսը և ցուցիչ ֆունկցիան, թվում է, ավելի պարզ է, քան էներգիայի ֆունկցիայի փոխակերպումը: Բազմապատկում ըստ ${ displaystyle e ^ {at}}$ t- տարածաշրջանում համապատասխանում է հերթափոխ s- տարածաշրջանում.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Այս հատկությունը անմիջապես թույլ է տալիս գտնել այնպիսի գործառույթների փոխակերպում, ինչպիսիք են ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, առանց ինտեգրալը հաշվարկելու.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Եկեք գտնենք ֆունկցիայի Լապլասի փոխակերպումը բազմապատկած տn{ ցուցադրման ոճ t ^ {n}}. Նախ, հաշվի առեք բազմապատկումը ըստ ${ displaystyle t}$... Ըստ սահմանման, կարելի է տարբերակել գործառույթը ինտեգրալի տակ և ստանալ զարմանալիորեն պարզ արդյունք.
   • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} վերջ {դասավորված}}}$
   • Կրկնելով այս գործողությունը, մենք ստանում ենք վերջնական արդյունքը.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Թեև ինտեգրման և տարբերակման օպերատորների վերադասավորումը պահանջում է լրացուցիչ հիմնավորում, մենք դա չենք ներկայացնի այստեղ, այլ միայն նշենք, որ այս գործողությունը ճիշտ է, եթե վերջնական արդյունքն իմաստ ունի: Կարող եք նաև հաշվի առնել այն փաստը, որ փոփոխականները ${ displaystyle s}$ եւ ${ displaystyle t}$ միմյանցից կախված չեն:
   • Օգտագործելով այս կանոնը, հեշտ է գտնել այնպիսի գործառույթների վերափոխումը, ինչպիսիք են ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, առանց մասերի վերաինտեգրման.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Գտեք ֆունկցիայի Լապլասի փոխակերպումը զ(ատ){ displaystyle f (ժամը)}. Դա կարելի է հեշտությամբ անել ՝ փոփոխականը u- ով փոխարինելով ՝ օգտագործելով տրանսֆորմացիայի սահմանումը.
   • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F ձախ ({ frac {s} {a}} աջ) վերջ {դասավորված}}}$
   • Վերևում մենք գտանք Լապլասի գործառույթների փոխակերպումը ${ displaystyle sin at}$ եւ ${ displaystyle cos at}$ ուղղակիորեն էքսպոնենցիալ ֆունկցիայից: Օգտագործելով այս հատկությունը, դուք կարող եք ստանալ նույն արդյունքը, եթե գտնեք իրական և երևակայական մասերը ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Գտեք ածանցյալի Լապլասի փոխակերպումը զ′(տ){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Ի տարբերություն նախորդ օրինակների, այս դեպքում պետք է մաս առ մաս ինտեգրվել.
   • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (ներ) -f (0) վերջ {դասավորված}}}$
   • Քանի որ երկրորդ ածանցյալը հանդիպում է բազմաթիվ ֆիզիկական խնդիրների դեպքում, մենք գտնում ենք Լապլասի կերպարանափոխությունը նաև դրա համար.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Ընդհանուր դեպքում, 9 -րդ կարգի ածանցյալի Լապլասի փոխակերպումը սահմանվում է հետևյալ կերպ (սա թույլ է տալիս լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ Լապլասի տրանսֆորմացիայի միջոցով).
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (ներ) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Մաս 3 -ից 3 -ից. Գտնելով Լապլասի փոխակերպումը շարքի ընդլայնմամբ

1. 1 Եկեք գտնենք Լապլասի փոխակերպումը պարբերական գործառույթի համար: Պարբերական գործառույթը բավարարում է պայմանը ${ ցուցադրման ոճ f (t) = f (t + nT),}$ որտեղ ${ displaystyle T}$ գործառույթի ժամանակաշրջանն է, և ${ displaystyle n}$ դրական ամբողջ թիվ է: Պարբերական գործառույթները լայնորեն կիրառվում են բազմաթիվ ծրագրերում, ներառյալ ազդանշանների մշակումը և էլեկտրատեխնիկան: Օգտագործելով պարզ փոխակերպումներ ՝ մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը.
   • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { հավասարեցված}}}$
   • Ինչպես տեսնում եք, պարբերական գործառույթի դեպքում բավական է Լապլասի փոխակերպումը կատարել մեկ ժամանակահատվածի համար:
2. 2 Կատարեք Լապլասի կերպարանափոխությունը բնական լոգարիթմի համար: Այս դեպքում ինտեգրալը չի ​​կարող արտահայտվել տարրական գործառույթների տեսքով: Գամմա ֆունկցիայի և դրա շարքի ընդլայնման օգտագործումը թույլ է տալիս գնահատել բնական լոգարիթմը և դրա աստիճանը: Էյլեր-Մաշերոնի հաստատունի առկայությունը ${ displaystyle gamma}$ ցույց է տալիս, որ այս ինտեգրալը գնահատելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել շարքի ընդլայնում:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Մտածեք աննորմալ sinc գործառույթի Լապլասի փոխակերպման մասին: Գործառույթը ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ լայնորեն օգտագործվում է ազդանշանի մշակման համար, դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում այն ​​համարժեք է առաջին տեսակի և զրո կարգի գնդաձև Բեսելի գործառույթին ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Այս գործառույթի Լապլասի փոխակերպումը նույնպես չի կարող հաշվարկվել ստանդարտ մեթոդներով: Այս դեպքում կատարվում է շարքի առանձին անդամների փոխակերպում, որոնք ուժային գործառույթներ են, ուստի նրանց փոխակերպումները պարտադիր կերպով համընկնում են տվյալ միջակայքի վրա:
   • Նախ, մենք գրում ենք գործառույթի ընդլայնումը Taylor շարքում.
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Այժմ մենք օգտագործում ենք ուժի գործառույթի արդեն հայտնի Լապլասի փոխակերպումը: Ֆակտորիալները չեղյալ են հայտարարվում, և արդյունքում մենք ստանում ենք Թեյլորի ընդլայնումը արկտանգենտի համար, այսինքն ՝ այլընտրանքային շարք, որը նման է սինուսի համար Թեյլորի շարքին, բայց առանց ֆակտորիալների.
     • ${ displaystyle { սկսել {համահունչ} { mathcal {L}} ձախ {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {straight}}}$