Բովանդակություն

• Քայլեր
• Մաս 1 -ից 3 -ը. Թվերի և քառակուսի արմատների հասկացություն
• 3 -րդ մաս 2 -ից. Երկար բաժանման ալգորիթմի օգտագործումը
• 3 -րդ մաս 3 -ից. Թերի քառակուսիների արագ հաշվարկ
• Խորհուրդներ

Թեև քառակուսի արմատների խորհրդանիշի վախեցնող տեսքը կարող է մղել մաթեմատիկայում վատ տիրապետող մեկին, սակայն քառակուսի արմատների խնդիրներն այնքան էլ բարդ չեն, ինչպես կարող էին ի սկզբանե թվալ: Քառակուսի արմատների պարզ խնդիրները հաճախ կարող են լուծվել նույնքան հեշտությամբ, որքան սովորական բազմապատկման կամ բաժանման խնդիրները: Մյուս կողմից, ավելի բարդ առաջադրանքները կարող են որոշակի ջանքեր պահանջել, բայց ճիշտ մոտեցման դեպքում նույնիսկ դրանք ձեզ համար դժվար չեն լինի: Սկսեք արմատների լուծումը այսօր ՝ սովորելու այս արմատապես նոր մաթեմատիկական հմտությունը:

Քայլեր

Մաս 1 -ից 3 -ը. Թվերի և քառակուսի արմատների հասկացություն

1. 1 Քառակուսի դարձրեք թիվը ՝ բազմապատկելով այն ինքնին: Քառակուսի արմատները հասկանալու համար ավելի լավ է սկսել թվերի քառակուսուց: Թվերի քառակուսավորումը բավականին պարզ է. Թվի քառակուսացումը նշանակում է բազմապատկել այն ինքնին: Օրինակ, 3 քառակուսին նույնն է, ինչ 3 × 3 = 9, իսկ 9 քառակուսին նույնն է, ինչ 9 × 9 = 81. Քառակուսիները նշվում են ՝ քառակուսի թվից վերև «2» փոքր թիվը գրելով: Օրինակ ՝ 3, 9, 100 և այլն:
   • Փորձեք ինքներդ քառակուսացնել ևս մի քանի թվեր `այս հասկացությունը փորձելու համար: Հիշեք, որ թվի քառակուսումը նշանակում է, որ թիվը պետք է բազմապատկվի ինքնին: Դա կարելի է անել նույնիսկ բացասական թվերի դեպքում: Այս դեպքում արդյունքը միշտ դրական կլինի: Օրինակ ՝ -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Երբ խոսքը վերաբերում է քառակուսի արմատներին, գործընթացը հակադարձվում է քառակուսու: Արմատային խորհրդանիշը (√, որը նաև կոչվում է արմատական) ըստ էության նշանակում է խորհրդանիշի հակապատկեր: Երբ տեսնում ես արմատական, պետք է ինքդ քեզ հարցնես. Օրինակ, եթե տեսնում եք (9), ապա պետք է գտնեք մի թիվ, որը քառակուսու դեպքում տալու է ինը թիվը: Մեր դեպքում այդ թիվը երեք կլիներ, քանի որ 3 = 9:
   • Քննենք մեկ այլ օրինակ և գտնենք 25 -ի արմատը ((25)): Սա նշանակում է, որ մենք պետք է գտնենք մի թիվ, որը մեզ կտա 25 քառակուսի: Քանի որ 5 = 5 × 5 = 25, կարող ենք ասել, որ √ (25) = 5:
   • Կարող եք նաև սա համարել քառակուսին «քանդել»: Օրինակ, եթե մեզ անհրաժեշտ է գտնել 64 -ի քառակուսի արմատը √ (64), ապա այս թիվը համարենք 8 -ը: Քանի որ արմատային խորհրդանիշը «չեղարկում է» քառակուսին, կարող ենք ասել, որ √ (64) = √ (8 ) = 8
3. 3 Իմացեք կատարյալ և ոչ կատարյալ քառակուսի տարբերությունը: Մինչ այժմ, արմատներով մեր խնդիրների պատասխանները եղել են լավ և կլոր թվեր, բայց դա միշտ չէ, որ այդպես է: Քառակուսի արմատների խնդիրների պատասխանները կարող են լինել շատ երկար և անհարմար տասնորդական թվեր: Այն թվերը, որոնց արմատը ամբողջական թվերն են (այլ կերպ ասած ՝ կոտորակներ չհանդիսացող թվեր) կոչվում են կատարյալ քառակուսիներ: Բոլոր վերը նշված օրինակները (9, 25 և 64) կատարյալ քառակուսիներ են, քանի որ դրանց արմատը կլինի ամբողջ թիվ (3.5 և 8):
   • Մյուս կողմից, այն թվերը, որոնք արմատին հասցնելիս ամբողջ թիվ չեն տալիս, կոչվում են թերի քառակուսիներ: Եթե ​​այս թվերից մեկը դնում եք արմատի տակ, ապա ստանում եք տասնորդական կոտորակ ունեցող թիվ: Երբեմն այս թիվը կարող է բավականին երկար լինել: Օրինակ ՝ √ (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 Անգիր սովորիր առաջին 1-12 ամբողջական քառակուսիները: Ինչպես հավանաբար արդեն նկատել եք, ամբողջական քառակուսի արմատ գտնելը բավականին հեշտ է: Քանի որ այս առաջադրանքները շատ հեշտ են, արժե հիշել առաջին տասնյակ ամբողջական քառակուսիների արմատները: Այս թվերին կհանդիպեք մեկից ավելի անգամ, այնպես որ մի փոքր ժամանակ հատկացրեք դրանք վաղաժամ անգիր սովորելու և ժամանակ խնայելու համար:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Պարզեցրեք արմատները ՝ հնարավորության դեպքում հեռացնելով դրանից լիարժեք քառակուսիներ: Թերի քառակուսու արմատը գտնելը երբեմն կարող է բարդ լինել, հատկապես, եթե հաշվիչ չեք օգտագործում (տե՛ս ստորև բերված բաժինը ՝ մի քանի հնարքների համար ՝ այս գործընթացն ավելի դյուրին դարձնելու համար): Այնուամենայնիվ, հաճախ կարող եք պարզեցնել արմատի տակ գտնվող թիվը, որպեսզի ավելի հեշտ լինի աշխատել: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է գործոնի ենթարկել թիվը արմատի տակ, այնուհետև գտնել գործոնի արմատը, որը կատարյալ քառակուսի է, և գրել այն արմատից դուրս: Սա ավելի հեշտ է, քան թվում է:Լրացուցիչ տեղեկությունների համար կարդացեք:
   • Եկեք ասենք, որ մենք պետք է գտնենք 900 -ի քառակուսի արմատը: Առաջին հայացքից սա բավականին սարսափելի խնդիր է թվում: Այնուամենայնիվ, դա այնքան էլ դժվար չի լինի, եթե 900 թիվը բաժանենք գործոնների վրա: Բազմապատկերներն այն թվերն են, որոնք բազմապատկվում են միմյանցով ՝ նոր թիվ տալու համար: Օրինակ, 6 թիվը կարելի է ստանալ 1 × 6 և 2 × 3 բազմապատկելով, դրա գործոնները կլինեն 1, 2, 3 և 6 թվերը:
   • 900 -ի արմատը փնտրելու փոխարեն, որը մի փոքր բարդ է, եկեք 900 -ը գրենք 9 × 100 -ով: Այժմ այդ 9 -ը, որը կատարյալ քառակուսի է, բաժանված է 100 -ից, մենք կարող ենք գտնել դրա արմատը: √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100): Այլ կերպ ասած, (900) = 3√ (100):
   • Մենք նույնիսկ կարող ենք ավելի հեռուն գնալ ՝ 100 -ը բաժանելով երկու գործոնների ՝ 25 և 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) √ (4) = 5 × 2 = 10. Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել. որ √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Բացասական թվի արմատը գտնելու համար օգտագործեք երևակայական թվեր: Հարցրեք ինքներդ ձեզ, իսկ ինքնին բազմապատկած ո՞ր թիվը կտա -16: Դա 4 կամ -4 չէ, քանի որ այդ թվերի քառակուսացումը մեզ դրական թիվ կտա 16. Հանձնվե՞լ: Փաստորեն, -16 արմատը կամ որևէ այլ բացասական թիվ նորմալ թվերով գրելու հնարավորություն չկա: Այս դեպքում մենք պետք է փոխարինենք երևակայական թվերին (սովորաբար տառերի կամ նշանների տեսքով), որպեսզի դրանք հայտնվեն բացասական թվի արմատի փոխարեն: Օրինակ, «i» փոփոխականը սովորաբար օգտագործվում է -1 -ի արմատավորման համար: Սովորաբար, բացասական թվի արմատը միշտ լինելու է երևակայական թիվը (կամ ներառված է դրանում):
   • Տեղյակ եղեք, որ չնայած երևակայական թվերը չեն կարող ներկայացվել սովորական թվերով, դրանք, այնուամենայնիվ, կարող են վերաբերվել որպես այդպիսին: Օրինակ, բացասական թվի քառակուսի արմատը կարող է քառակուսու համար տրվել այս բացասական թվերին, ինչպես ցանկացած այլ քառակուսի արմատ: Օրինակ ՝ i = -1

3 -րդ մաս 2 -ից. Երկար բաժանման ալգորիթմի օգտագործումը

1. 1 Արմատով խնդիրը գրեք որպես երկար բաժանման խնդիր: Թեև դա կարող է բավականին ժամանակատար լինել, այս կերպ կարող եք լուծել քառակուսի արմատների թերի խնդիրը ՝ առանց հաշվիչ դիմելու: Դա անելու համար մենք կօգտագործենք լուծման մեթոդը (կամ ալգորիթմը), որը նման է (բայց ոչ նույնը) սովորական երկար բաժանումին:
   • Նախ, արմատի հետ կապված խնդիրը գրեք նույն ձևով, ինչ երկար բաժանման դեպքում: Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք գտնել 6,45 -ի քառակուսի արմատը, որը ճշգրիտ կատարյալ քառակուսի չէ: Նախ, մենք կգրենք սովորական քառակուսի խորհրդանիշը, այնուհետև դրա ներքևում կգրենք մի շարք: Հաջորդը, մենք թվից վեր կքաշենք մի գիծ, ​​որպեսզի այն հայտնվի փոքր «վանդակում», ինչպես երկար բաժանման դեպքում: Դրանից հետո մենք ունենք երկար պոչ ունեցող արմատ և դրանից ներքև ՝ 6,45 համար:
   • Մենք թվեր կգրենք արմատից վերև, այնպես որ անպայման այնտեղ որոշակի տեղ թողեք:
2. 2 Թվերը զույգերով խմբավորեք: Խնդրի լուծումը սկսելու համար հարկավոր է զույգերով խմբավորել թվի թվանշանները արմատականի տակ ՝ սկսած տասնորդական կետից: Եթե ​​ցանկանում եք, շփոթությունից խուսափելու համար կարող եք զույգերի միջև փոքր նշաններ դնել (օրինակ ՝ կետեր, թեք գծեր, ստորակետներ և այլն):
   • Մեր օրինակում մենք պետք է զուգորդենք 6.45 թիվը հետևյալ կերպ ՝ 6-, 45-00: Նկատի ունեցեք, որ ձախ կողմում կա «մնացած» թվանշան - սա նորմալ է:
3. 3 Գտեք ամենամեծ թիվը, որի քառակուսին փոքր է կամ հավասար առաջին «խմբին»: Սկսեք ձախից առաջին համարից կամ զույգից: Ընտրեք ամենամեծ թիվը, որի քառակուսին փոքր կամ հավասար է մնացած «խմբին»: Օրինակ, եթե խումբը 37 լիներ, դուք կընտրեիք 6 թիվը, որովհետև 6 = 36 37 և 7 = 49> 37: Այս թիվը գրեք առաջին խմբի վերևում: Սա կլինի ձեր պատասխանի առաջին համարը:
   • Մեր օրինակում, 6- ի, 45-00-ի առաջին խումբը կլինի 6 թիվը: Ամենամեծ թիվը, որը քառակուսում 6-ից փոքր է կամ հավասար է, 2 = 4. Արմատի տակ գրեք 6 թիվը 6-ից վեր: .
4. 4 Կրկնապատկեք ձեր գրած թիվը, այնուհետև արմատացրեք այն և հանեք այն: Վերցրեք ձեր պատասխանի առաջին նիշը (նոր գտած թիվը) և կրկնապատկեք այն: Գրեք արդյունքը ձեր առաջին խմբի տակ և հանեք տարբերությունը գտնելու համար: Պատասխանի կողքին գցեք հաջորդ երկու համարները: Ի վերջո, ձախից գրեք ձեր պատասխանի առաջին նիշի վերջին երկնիշը և դրա կողքին բաց թողեք:
   • Մեր օրինակում մենք կսկսենք կրկնապատկելով 2 թիվը, որը մեր պատասխանի առաջին թիվն է: 2 × 2 = 4:Այնուհետև մենք հանում ենք 4 -ը 6 -ից (մեր առաջին «խումբը») ՝ ստանալով 2. Այնուհետև բաց ենք թողնում հաջորդ խումբը (45) ՝ ստանալով 245. Եվ վերջապես, ձախ կողմում մենք նորից կգրենք 4 թիվը ՝ թողնելով փոքր տարածք վերջ, ահա այսպես ՝ 4_
5. 5 Խնդրում ենք լրացնել դատարկ տեղը: Այնուհետեւ դուք պետք է թվանշան ավելացնեք գրանցված թվի աջ կողմում, որը գտնվում է ձախ կողմում: Ընտրեք թվանշան ՝ բազմապատկելով ձեր նոր համարով, դուք կստանաք հնարավոր ամենամեծ արդյունքը, բայց որը փոքր կամ հավասար կլինի «բաց թողնված» թվին: Օրինակ, եթե ձեր «բաց թողնված» թիվը 1700 է, իսկ ձախը ՝ 40_, ապա տարածության մեջ պետք է գրել 4 թիվը, քանի որ 404 × 4 = 1616 1700, մինչդեռ 405 × 5 = 2025. Թվը գտնված է այս քայլում և կլինի ձեր պատասխանի երկրորդ թվանշանը, այնպես որ կարող եք այն գրել արմատային նշանի վերևում:
   • Մեր օրինակում մենք պետք է գտնենք մի թիվ և գրենք այն 4_ × _ բացատներում, ինչը պատասխանը կդարձնի հնարավորինս մեծ, բայց դեռ 245 -ից փոքր կամ հավասար: Մեր դեպքում դա 5. 45 × 5 = 225, մինչդեռ 46 × 6 = 276
6. 6 Շարունակեք օգտագործել դատարկ թվերը ՝ պատասխանը գտնելու համար: Շարունակեք լուծել այս փոփոխված երկար բաժանումը, մինչև չսկսեք ստանալ զրոներ, երբ հանեք «բաց թողնված» թիվը կամ մինչև չստանաք ձեր ուզած ճշգրտության մակարդակը: Ավարտելուց հետո այն թվերը, որոնցով լրացնում էիք յուրաքանչյուր քայլի դատարկ տեղերը (գումարած հենց առաջին թիվը) կկազմեն ձեր պատասխանի թիվը:
   • Շարունակելով մեր օրինակը ՝ 245 -ից 225 -ը հանում ենք մինչև 20 -ի: Այնուհետև, հաջորդ զույգ թվերը ՝ 00 -ը, գցում ենք 2000 -ի համար: Կրկնապատկեք արմատային նշանի վերևում գտնվող թիվը: Ստանում ենք 25 × 2 = 50. Տիեզերքով օրինակը լուծելով ՝ 50_ × _ = / 2000, ստանում ենք 3. Այս փուլում արմատականից վերև գրված կլինի 253, և նորից կրկնելով այս գործընթացը ՝ մեր հաջորդ թիվը կլինի 9 .
7. 7 Տեղափոխեք տասնորդական կետը շահաբաժինների սկզբնական թվից: Ձեր պատասխանը լրացնելու համար պետք է տասնորդական կետը տեղադրել ճիշտ տեղում: Բարեբախտաբար, դա բավականին հեշտ է անել: Մնում է միայն այն հավասարեցնել սկզբնական համարի կետին: Օրինակ, եթե 49.8 թիվը գտնվում է արմատի տակ, ապա ինը և ութից բարձր երկու թվերի միջև պետք է վերջակետ դնել:
   • Մեր օրինակում արմատականի տակ կա 6.45, այնպես որ մենք պարզապես տեղափոխում ենք կետը և այն դնում մեր պատասխանի 2 -րդ և 5 -րդ թվերի միջև և ստանում ենք պատասխանը ՝ հավասար 2.539 -ի:

3 -րդ մաս 3 -ից. Թերի քառակուսիների արագ հաշվարկ

1. 1 Գտեք թերի քառակուսիներ ՝ հաշվելով դրանք: Ամբողջ քառակուսիները անգիր անելուց հետո թերի քառակուսիների արմատ գտնելը շատ ավելի հեշտ է դառնում: Քանի որ դուք արդեն գիտեք տասնյակ կատարյալ քառակուսիներ, ցանկացած թիվ, որը ընկնում է այս երկու ամբողջական քառակուսիների միջև ընկած հատվածում, կարելի է գտնել ՝ ամեն ինչ կրճատելով այս արժեքների միջև կոպիտ հաշվարկի: Սկսեք ՝ գտնելով երկու ամբողջական քառակուսի ՝ ձեր համարը մեջտեղում: Հետո որոշեք, թե այս թվերից ո՞րն է ավելի մոտ ձեր համարը:
   • Օրինակ, ենթադրենք, որ մենք պետք է գտնենք 40 -ի քառակուսի արմատը: Քանի որ մենք անգիր կատարյալ քառակուսիներ ենք սովորել, կարող ենք ասել, որ 40 -ը 6 -ի և 7 -ի կամ 36 -ի և 49 -ի միջև է: Քանի որ 40 -ը 6 -ից մեծ է, դրա արմատը 6 -ից մեծ կլինի: , և քանի որ այն 7 -ից փոքր է, դրա արմատը նույնպես 7. -ից պակաս կլինի: 40 -ը փոքր -ինչ ավելի մոտ է 36 -ին, քան 49 -ին, ուստի պատասխանը, ամենայն հավանականությամբ, փոքր -ինչ մոտ կլինի 6 -ին: Հաջորդ մի քանի քայլերում մենք կնվազեցնենք մեր պատասխանել.
2. 2 Հաշվեք քառակուսի արմատը մինչև առաջին տասնորդական տեղը: Երբ ընտրեք երկու ամբողջական քառակուսիներ, որոնց միջև է ձեր թիվը, ամեն ինչ կախված է ձեր հաշվարկից, մինչև չստանաք ձեր ուզած պատասխանը: Որքան շատ եք հաշվում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի ձեր պատասխանը: Սկսեք ՝ ընտրելով, թե որտեղ տեղադրել ձեր պատասխանի տասնորդական կետը: Պարտադիր չէ, որ այն ճիշտ լինի, բայց դա կխնայի ձեր ժամանակը, եթե օգտագործեք տրամաբանությունը և հնարավորինս մոտեցնեք ճիշտ պատասխանին:
   • Մեր օրինակում 40 -ի քառակուսի արմատների ողջամիտ գնահատականը կարող է լինել 6.4 -ը, քանի որ վերը նշված տեղեկատվությունից մենք գիտենք, որ պատասխանը մոտ է 6 -ին, քան 7 -ին:
3. 3 Մոտավոր թիվը ինքնին բազմապատկեք: Հաջորդ բանը, որ դուք պետք է անեք, մոտավոր թիվը քառակուսի դնելն է: Ամենայն հավանականությամբ, ձեզ բախտ չի վիճակվի և չեք ստանա սկզբնական համարը: Դա կլինի կամ մի փոքր ավելի մեծ, կամ մի փոքր ավելի փոքր:Եթե ​​ձեր արդյունքը չափազանց բարձր է, ապա նորից փորձեք, բայց մի փոքր ավելի ցածր գնահատականով (և հակառակը, եթե արդյունքը չափազանց ցածր է):
   • Բազմապատկեք 6.4 -ն ինքնին, և կստանաք 6.4 x 6.4 = 40.96, ինչը մի փոքր ավելի է, քան սկզբնական թիվը:
   • Քանի որ մեր պատասխանը ավելի մեծ ստացվեց, մենք պետք է թիվը մեկ տասնորդականով քիչ բազմապատկենք մոտավորով և ստանանք հետևյալը ՝ 6.3 × 6.3 = 39.69: Սա մի փոքր ավելի փոքր է, քան սկզբնական թիվը: Սա նշանակում է, որ 40 -ի քառակուսի արմատը գտնվում է 6.3 -ից 6.4 -ի միջև: Կրկին, քանի որ 39.69 -ը 40 -ին ավելի մոտ է քան 40.96 -ին, մենք գիտենք, որ քառակուսի արմատը 6.3 -ից մոտ կլինի 6.3 -ին:
4. 4 Շարունակեք հաշվարկել: Այս պահին, եթե գոհ եք ձեր պատասխանից, կարող եք պարզապես վերցնել ձեր ենթադրած առաջին ենթադրությունը: Այնուամենայնիվ, եթե ցանկանում եք ավելի ճշգրիտ պատասխան, մնում է միայն ընտրել երկու տասնորդական համարներով մոտավոր արժեք, որը մոտավոր արժեքը դնում է առաջին երկու թվերի միջև: Շարունակելով այս հաշվարկը, ձեր պատասխանի համար կարող եք ստանալ երեք, չորս կամ ավելի տասնորդական տեղ: Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե որքան հեռու եք ուզում գնալ:
   • Մեր օրինակի համար եկեք ընտրենք 6.33 -ը որպես մոտավոր արժեք երկու տասնորդական նիշերով: Բազմապատկելով 6.33 -ը ՝ ստացեք 6.33 × 6.33 = 40.0689: քանի որ սա մի փոքր ավելի մեծ է, քան մեր թիվը, մենք ավելի փոքր թիվ կվերցնենք, օրինակ ՝ 6.32: 6.32 × 6.32 = 39.9424: Այս պատասխանը մի փոքր փոքր է մեր թվից, ուստի մենք գիտենք, որ ճշգրիտ քառակուսի արմատը գտնվում է 6,32 -ից 6,33 -ի միջև: Եթե ​​մենք ցանկանայինք շարունակել, մենք կշարունակեինք օգտագործել նույն մոտեցումը ՝ ավելի ու ավելի ճշգրիտ ստացող պատասխան ստանալու համար:

Խորհուրդներ

• Լուծում արագ գտնելու համար օգտագործեք հաշվիչը: Modernամանակակից հաշվիչների մեծ մասը կարող է ակնթարթորեն գտնել թվի քառակուսի արմատը: Մնում է մուտքագրել ձեր համարը, այնուհետև կտտացնել արմատային կոճակին: Օրինակ, 841 արմատը գտնելու համար պետք է սեղմել 8, 4, 1 և (√): Արդյունքում, դուք կստանաք 39 -ի պատասխանը: